Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5. Обратная матрица 65
Решение. Из единичной матрицы
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
!
составим
1) матрицу
S(2, 3) =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
!
,
тогда произведение S(2, 3)A да¨ет матрицу
S(2, 3)A =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
!
1 2 0 3
2 2 1 0
1 1 2 1
!
=
1 2 0 3
1 1 2 1
2 2 1 0
!
,
отличающуюся от A местами 2-й и 3-й строк;
2) матрицу
S(0; 1, 2; 1) =
1 1 0
0 1 0
0 0 1
!
,
умножение которой на A слева равносильно прибавлению в матрице A 2-й стро-
ки к 1-й:
S(0; 1, 2; 1) =
1 1 0
0 1 0
0 0 1
!
1 2 0 3
2 2 1 0
1 1 2 1
!
=
3 4 1 3
2 2 1 0
1 1 2 1
!
;
3) матрицу
S(0; 1, 3; α) =
1 0 α
0 1 0
0 0 1
!
,
умножение которой на A слева равносильно прибавлению в матрице A 3-й стро-
ки, умноженной на α, к 1-й строке:
S(0; 1, 3; α) =
1 0 α
0 1 0
0 0 1
!
1 2 0 3
2 2 1 0
1 1 2 1
!
=
1 + α 2 + α 2α 3 + α
2 2 1 0
1 1 2 1
!
.
Теорема 5.2. Любую невырожденную матрицу A путем элементарных пре-
образований только строк (или столбцов) можно привести к единичной. При-
менив ту же последовательность преобразований к единичной матрице I, по-
лучим обратную матрицу A
−1
.
Доказательство. Поскольку det A 6= 0, то существует A
−1
, а та к как det(A
−1
) 6=
0, то, согласно лемме 5.1 и теореме 4.1 , найдутся такие матрицы S, осуществля-
ющие элементарные преобразования, которые приведут A к единичной матрице
I, т.е. S
l
···S
1
A = I, о ткуда S
l
···S
1
AA
−1
= IA
−1
или S
l
···S
1
I = A
−1
, что и тре-
бовалось доказать.
Сама идея доказательства теоремы диктует алгоритм метода элементарных
преобразований для нахождения обратной матрицы.
♦ Удобно совершать элементарные преобразования над матрицами A и I
одновременно, записывая их через черту.

Страницы