Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

5. Обратная матрица 67
если работаем со столбцами. Будем проводить элементарные преобразования
матрицы B. Получим
B ∼
1 3
0 −7
1 0
−4 1
−S
2
/7
∼
1 3
0 1
1 0
4/7 −1/7
S
1
−3S
2
∼
∼
1 0
0 1
−5/7 3/7
4/7 −1/7
.
Следовательно,
A
−1
=
1
7
−5 3
4 −1
.
Естественно, что полученные двумя способами результаты совпали. В силу
простоты 2-го способа именно им и будем пользоваться в дальнейшем.
Пример 5.5. Методом элементарных преобразований найти обратную матри-
цу к матрице A из примера 5.1.
Решение. Запишем матрицу
B =
1 2 −3
0 1 2
0 0 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
!
.
Проводя указанные элементарные преобразования, найд¨ем
B =
1 2 −3
0 1 2
0 0 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
!
S
2
−S
3
∼
1 2 −3
0 1 0
0 0 2
1 0 0
0 1 −1
0 0 1
!
S
3
/2
∼
∼
1 2 −3
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 −1
0 0 0,5
!
S
1
−2S
2
+3S
3
∼
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 −2 3,5
0 1 −1
0 0 0,5
!
,
откуда
A
−1
=
1 −2 3,5
0 1 −1
0 0 0,5
!
,
что совпадает с результатом примера 5.1.
Пример 5.6. Методом элементарных преобразований найти обратную матри-
цу к матрице A из примера 5.2.
Решение. Запишем матрицу B и выполним ука занные элементарные преобра-
зования
B =
1 1 1 . . . 1 1
0 1 1 . . . 1 1
0 0 1 . . . 1 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 1
0 0 0 . . . 0 1
1 0 0 . . . 0 0
0 1 0 . . . 0 0
0 0 1 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 0
0 0 0 . . . 0 1
S
1
−S
2
S
2
−S
3
∼
. . . . . . .
S
n−1
−S
n
∼
1 0 0 . . . 0 0
0 1 0 . . . 0 0
0 0 1 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 0
0 0 0 . . . 0 1
1 −1 0 . . . 0 0
0 1 −1 . . . 0 0
0 0 1 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 −1
0 0 0 . . . 0 1
,

Страницы