ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6. Теорема Кронекера–Капелли 69
ГЛАВА 2
Системы линейных уравнений
6. Теорема Кронекера–Капелли
Она из задач, наиболее часто встречающихся в инженерных вычислениях, —
решение системы линейных уравнений, при этом число уравнений обычно равно
числу неизвестных или меньше него. Не исключено также, что число уравнений
может быть и больше числа неизвестных. Такую систему можно записать в виде
a
1
1
x
1
+ a
1
2
x
2
+ . . . + a
1
n
x
n
= b
1
;
a
2
1
x
1
+ a
2
2
x
2
+ . . . + a
2
n
x
n
= b
2
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m
1
x
1
+ a
m
2
x
2
+ . . . + a
m
n
x
n
= b
m
.
(6.1)
Систему (6.1) можно представить в матричной форме:
AX = B, (6.2)
где
A =
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
a
2
1
a
2
2
. . . a
2
n
. . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m
1
a
m
2
. . . a
m
n
, X =
x
1
x
2
.
.
.
x
n
, b =
b
1
b
2
.
.
.
b
m
.
Матрица A называется основной матрицей системы, а матрица
e
A =
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
a
2
1
a
2
2
. . . a
2
n
. . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m
1
a
m
2
. . . a
m
n
b
1
b
2
. .
b
m
. (6.3)
называется расширенной.
Решением системы (6.1) называется всякая совокупность чисел α
1
, α
2
, . . . ,
. . . , α
n
, которая, будучи подставленной в систему (6.1) вместо неизвестных
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, обращает все уравнения в тождества.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и
несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет одно реше-
ние, и неопределенной, если решений больше одного.
Система линейных уравнений называется однородной, если все ее правые
части равны нулю, т.е. b
k
= 0, k = 1, m. В противном случае система линейных
уравнений на зывается неоднородной.
Две системы называются эквивалентными (или равносильны ми), если
каждое решение первой системы является решением второй, и наоборот.
Теорему Кронекера–Капелли называют теоремой о совместности сист емы
линейных уравнений (6.1).
Теорема 6.1 (Кронекера–Капелли). Система (6.1) совместна тогда и толь-
ко тогда, когда ранги матриц
e
A и A совпадают.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
