ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
70 Глава 2. Системы линейных у равнений
Доказательство. 1. Докажем сначала необходимость этого условия. Пусть
система (6.1) является совместной. Тогда существуют такие числа x
1
= α
1
,
x
2
= α
2
, . . . , x
n
= α
n
, которые уравнения системы (6.1) обращают в тождества:
a
1
1
α
1
+ . . . + a
1
n
α
n
=
n
X
l=1
a
1
l
α
l
= b
1
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
a
m
1
+ . . . + a
m
n
α
n
=
n
X
l=1
a
m
l
α
l
= b
m
,
с помощ ью которых расширенную матрицу (6.3) можно записать в виде
e
A =
a
1
1
. . . a
1
n
. . . . . . . . . . . .
a
m
1
. . . a
m
n
n
X
l=1
a
1
l
α
l
. . . . . . . .
n
X
l=1
a
m
l
α
l
.
Нетрудно заметить, что последний столбец представляет собой линейную ком-
бинацию предыдущих сто лб цов, следовательно, rang
e
A = rang A.
2. Достаточность. Пусть rang
e
A = rang A. Тогда базисный минор матрицы A
является и базисным минором расширенной матрицы
e
A. В силу этого столбец из
свободных членов является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы
A, а коэффициенты этой линейной комбинации — решениями системы (6.1).
Следовательно, система (6.1) является совместной, что и требовалось доказать.
♦ Если ранг этих матриц равен числу переменных (r = n), то система б удет
определенной, т.е. иметь единственное решение.
♦ Если ранг этих матриц меньше числа переменных (r < n) то система не
определена, т.е. имеет бесконечно много решений.
♦ Пусть система (6.1) совместна. Теорема Кронекера–Капелли, при помощи
которой мы установили совместность этой системы, говорит только о суще-
ствовании решения, но не да ет практических рецептов для его отыскания. К
рассмотрению методов решения систем линейных уравнений мы и переходим.
7. Системы n линейных уравнений с n неизвестными
7.1. Метод Крамера
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
a
1
1
x
1
+ ···+ a
1
n
x
n
= b
1
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
a
n
1
x
1
+ ···+ a
n
n
x
n
= b
n
(7.1)
или
n
X
j=1
a
i
j
x
j
= b
i
, i = 1, n. (7.2)
Число уравнений этой системы совпадает с числом неизвестных.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »
