ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7. Системы n линейных уравнений с n неизвестными 71
Составим определитель этой системы, называемый главным определителем:
D =
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
a
2
1
a
2
2
. . . a
2
n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
n
1
a
n
2
. . . a
n
n
.
Этот определитель можно разложить по элементам первого столбца:
D = a
1
1
A
1
1
+ a
2
1
A
2
1
+ ··· + a
n
1
A
n
1
. (7.3)
Напомним, что сумма произведений всех элементов какой-либо строки (столб-
ца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов
другой строки (столбца) равна нулю. Например,
a
1
1
A
1
2
+ a
2
1
A
2
2
+ . . . + a
n
1
A
n
2
= 0.
Теорема 7.1. Если определитель системы (7.1) отличен от нуля, т.е. D =
det A 6= 0, то эта система имеет единственное решение, которое находится
по формулам
x
j
=
D
j
D
, j = 1, n, (7.4)
где D
j
– определитель, полученный из D заменой его j-го столбца столбцом
свободных членов.
Доказательство. Чтобы найти неизвестное число x
1
, умножим первое урав-
нение системы (7.1) на дополнение A
1
1
, второе на A
2
1
, . . . , n-е на A
n
1
и сложим
все уравнения системы:
x
1
(a
1
1
A
1
1
+ . . . + a
n
1
A
n
1
) + x
2
(a
1
2
A
1
1
+ . . . + a
n
2
A
n
1
) + . . . +
+ . . . + x
n
(a
1
n
A
1
1
+ . . . + a
n
n
A
n
1
) = b
1
A
1
1
+ b
2
A
2
1
+ . . . + b
n
A
n
1
).
Тогда, учтя, чт о
x
1
n
X
i=1
a
i
1
A
i
1
= x
1
D,
а
x
j
n
X
i=1
a
i
j
A
i
1
= 0, j 6= 1,
получим
x
1
D = D
1
,
где
D
1
=
n
X
i=1
b
i
A
i
1
=
b
1
a
1
2
. . . a
1
n
. . . . . . . . . . . . . . .
b
n
a
n
2
. . . a
n
n
.
Следовательно, так как по условию D 6= 0, то x
1
= D
1
/D.
В общем случае при произвольном j умножаем первое слагаемое системы
(7.1) на A
1
j
, второе на A
2
j
, . . . , n-е на A
n
j
, складываем эти уравнения и на о сно-
вании свойств определителя получим
x
j
n
X
j=1
a
i
j
A
i
j
=
n
X
i=1
b
i
A
i
j
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »
