ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5. Обратная матрица 61
Решение. Рассмотрим матрицы
A = (
1 2
) , B =
2
−1
и найд¨ем их произведения
AB = (
1 2
)
2
−1
= 0,
BA =
2
−1
(
1 2
) =
2 4
−1 −2
.
Так как rang(AB) = 0, а rang(BA) = 1, то rang(AB) 6= rang(BA).
5. Обратная матрица
Квадратная n ×n-матрица B = kb
j
k
k называется обратной по отношению
к n × n-матрице A = ka
j
k
k, если
AB = BA = E = I. (5.1)
Для обозначения обратной матрицы используется символ A
−1
.
Квадратная n × n-матрица называется невырожденной, если det A 6= 0, и
вырожденной, или особенной, если det A = 0.
Квадратная n × n-матрица C = kc
j
k
k называется присоединенной, или
союзной к матрице A = ka
j
k
k, если для ее элементов справедливо
c
j
k
= A
k
j
, k, j = 1, n, (5.2)
где A
k
j
— алгебраическое допо лнение к элементу a
k
j
. Присоединенную матрицу
обозначают символом
¯
A.
Теорема 5.1. Для того чтобы для матрицы A существовала обратная мат-
рица, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что матрица A имеет обрат-
ную A
−1
, т.е. AA
−1
= I. Следовательно,
det A · det A
−1
= det I = 1. (5.3)
Следовательно, det A 6= 0.
Достаточность. Предположим, что det A 6= 0. Рассмотрим произведение мат-
риц A и
¯
A:
A
¯
A =
n
X
l=1
a
j
l
c
l
k
.
В силу соотношения (3.30) можно записать
A
¯
A =
n
X
l=1
a
j
l
A
k
l
= kδ
j
k
det Ak = (det A) · I.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- …
- следующая ›
- последняя »
