ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4. Ранг матрицы и его основные свойства 57
Доказательство. Теорема имеет смысл, если rang A = r > 1. Убедимся сна-
чала, что в матрице A с рангом r действительно существуют r линейно неза-
висимых столбцов. Для этого рассмотрим квадратную матрицу A
r
порядка r,
определителем которой является базисный минор. Столбцы матрицы A
r
пред-
ставляют собой только часть столбцов исходной матрицы A. Если бы эти столб-
цы были линейно зависимы, то были бы линейно зависимы и столбцы матрицы
A
r
, в результате чего базисный минор, вопреки своему определению, обращ ался
бы в нуль. Полученное противоречие подтверждает наличие r линейно незави-
симых столбцов в матрице A.
Покажем теперь, что число r является максимальным, т.е. любые s столбцов
матрицы A линейно зависимы, если s > r. Для этого из элементов матрицы
A составим матрицу A
′
с числом столбцов s > r. Очевидно, что rang A
′
6
r, поскольку каждый минор матрицы A
′
является и минором матрицы A, и,
следовательно, в матрице A
′
нет отличного от нуля минора порядка большего,
чем r. Из неравенства rang A
′
6 r с уч¨етом произвольности числа s и в ытекает
справедливость утверждения теоремы.
Утверждение теоремы от носительно строк доказывается аналогично.
♦ В общем случае в прямоугольной матрице число строк отличается о т числа
столбцов, однако, как следует из доказанной выше теоремы 4.3, число линейно
независимых строк равно числу линейно независимых столбцов, и число это
определяется рангом матрицы.
♦ Доказанные выше теоремы позволяют уменьшить число операций, необ-
ходимых для вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразо-
ваний. Действительно, в примерах 4.2–4.4 исходные матрицы можно было не
приводить непосредственно к каноническому виду, а воспользоваться меньшим
числом преобразований. Так, в примере 4.2 преобразования можно было уже
остановить на эквивалентной матрице вида
A ∼
1 2 1 4
0 1 −1 3
0 0 0 0
!
,
имеющей две базисные строки и, следовательно, ранг, равный двум; в примере
4.3 — на матрице
A ∼
1 −1 2
0 3 −5
0 0 0
!
и, на конец, в примере 4.4 — уже на ма трице
A ∼
1 0 0 0
0 3 −7 −3
0 3 −7 −3
!
.
Ранг матрицы можно вычислить не только методом элементарных преобра-
зований, но и методом окаймляющих миноров. Смысл его определяет следую-
щая теорема.
Теорема 4.4 (об окаймляющих минорах). Если m × n-матрица A имеет
минор порядка k, отличный от нуля, для которого все содержащие его миноры
порядка k+1 (окаймляющие миноры) равны нулю, то ранг этой матрицы равен
k: rang A = k.
Доказательство. Пусть M — отличный от нуля минор порядка k. Не нару-
шая о бщности рассмотрения, можно считать, что он является главным мино-
ром (в противном случае этого всегда можно добиться транспозицией строк и
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
