Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3. Определитель и его свойства 49
=
1 2 3 4 . . . n − 1 n
1 1 1 1 . . . 1 1 − n
1 1 1 1 . . . 1 − n 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 − n 1 . . . 1 1
1 1 − n 1 1 . . . 1 1
S
1
−S
n
S
2
−S
n
=
. . . . . . .
S
n−1
−S
n
=
0 n + 1 2 3 . . . n − 2 n − 1
0 n 0 0 . . . 0 −n
0 n 0 0 . . . −n 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 n −n 0 . . . 0 0
1 1 − n 1 1 . . . 1 1
.
Разложим этот определитель по первому столбцу:
0 n + 1 2 3 . . . n − 2 n − 1
0 n 0 0 . . . 0 −n
0 n 0 0 . . . −n 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 n −n 0 . . . 0 0
1 1 − n 1 1 . . . 1 1
= (−1)
n+1
n + 1 2 3 . . . n − 2 n − 1
n 0 0 . . . 0 −n
n 0 0 . . . −n 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n −n 0 . . . 0 0
.
Вынеся теперь в (n − 2)-х строках общий множитель n и выполнив указанные
действия, найд¨ем
(−1)
n+1
n + 1 2 3 . . . n − 2 n − 1
n 0 0 . . . 0 −n
n 0 0 . . . −n 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n −n 0 . . . 0 0
=
= (−1)
n+1
n
n−2
n + 1 2 3 . . . n − 2 n − 1
1 0 0 . . . 0 −1
1 0 0 . . . −1 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 −1 0 . . . 0 0
=
=
{R
1
+R
n−1
+...+R
2
}
(−1)
n+1
n
n−2
S
n
2 3 . . . n − 2 n − 1
0 0 0 . . . 0 −1
0 0 0 . . . −1 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n −n 0 . . . 0 0
0 −1 0 . . . 0 0
,
где
S
n
= (n + 1) + (n − 1) + (n − 2) + . . . + 3 + 2 =
= n + (n − 1) + (n − 2) + . . . + 3 + 2 + 1 =
n(n + 1)
2
.
Снова разложим полученный определитель по первому столбцу:
(−1)
n+1
n
n−2
S
n
2 3 . . . n − 2 n − 1
0 0 0 . . . 0 −1
0 0 0 . . . −1 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 −1 0 . . . 0 0
=

Страницы