Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

ГЛАВА 1
Матрицы и определители
1. Числовые поля
Понятие числа является первичным математическим понятием и возникло
в глубокой древности для решения практических задач, возникавших перед
людьми.
Для чисел, изучаемых в школьном курсе математики, определены прави-
ла работы с ними: известно, что означает сумма двух чисел, что означает их
произведение. При этом выполняются законы арифметики.
Натуральные числа 1, 2, 3, . . . , n, . . . появились в результате счета и изме-
рения длины, площ ади, объема, в ремени, скорости, т емпературы и т.п. Будем
обозначать множество всех натуральных чисел символом N.
Число нуль и отрицательные числа появились в результате потребностей
алгебры. Например, без этих чисел невозможно решить уравнения
x + 13 = 13, x + 13 = 10.
Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе
с числом 0 составляют класс рациональных чисел Q. Рациональным числом
называется частное от деления двух целых чисел p/q, если q 6= 0.
Каждое рациональное число можно записать в виде конечной или бесконеч-
ной периодической десятичной дроби, например 1/3 = 0,333 3 ··· = 0,(3) (ноль
целых три в периоде).
Однако одних рациональных чисел недостаточно, чтобы обслужить потреб-
ности науки и техники. Так, в математике, имея дело только с рациональными
числами, мы не можем решить такое уравнение, как x
2
− 1 3 = 0. Этому урав-
нению до лжно удовлетво рять такое число, квадрат которого рав ен 13. Можно
показать, что среди рациональных чисел Q нет такого числа, квадрат которого
равен 13. Поэтому в математике рассматривают так называемые иррациональ-
ные числа J, такие как
√
13,
3
√
4, 1+2
√
5 и т.п. Иррациональные числа J записы-
ваются бесконечными десятичными непериодическими дробями (
√
2 = 1,41 . . . ,
π = 3,14159 . . . ).
Совокупность всех рациональных Q и иррациональных J чисел называ-
ется множеством действительных или вещественных чисел R, или классом
действительных чисел R. Итак, множество R действительных чисел состоит
из двух частей (подмножеств): множества Q рациональных чисел и множества
J иррациональных чисел.
Действительные числа R изображаются точками числовой оси. Числовой
осью называют прямую Ox, на которой выбраны: 1) начало отсчета 0; 2) по-
ложительное направление (указывается стрелкой) и 3) масштаб для измерения
длин H (рис. 1). Каждому числу соответствует точка на числовой оси и наобо-
рот. Между точками числовой оси и действительными числами R устанавлива-
ется взаимно однозначное соответствие: действительному числу a соответствует
точка M
1
с координатой x = a, причем точка M
1
будет находиться справа от
начала координат, если x > 0, и слева от него, если x < 0. Наоборот, каждой
точке N соответствует действительное число x
2
= b – координата этой точки.
Поэтому вместо слова «число» говорят «точка» и наоборот.
Рис. 1.

Страницы