ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6 Глава 1. Матрицы и определители
Множество R всех действительных чисел обладает следующими свойствами:
1) оно упорядочено. Это означает, что между любыми двумя числами a и b
имеет место одно и только одно из тр¨ех соо тношений
a < b, a = b, a > b.
2) Это множество R — плотное, т.е. как бы ни была мала разность между любы-
ми двумя действительными числами a и b, между ними содержится бесконечное
множество промежуточных действительных чисел x (как Q рациональных, так
и J иррациональных), т.е. чисел, удовлетворяющих неравенству
a < x < b.
Это множество R – непрерывное. Для объяснения этого понятия поступают так:
сечением множества R называют разбиение всех действительных чисел на два
класса: нижний класс A и верхний класс B, такое, что каждое действитель-
ное число содержится только в одном классе и любое число нижнего класса A
меньше любого числа верхнего класса.
Тогда (в этом заключается свойство непрерывности) всякое сечение опреде-
ляет единственное действительное число a, являющееся пограничным числом,
отделяющим числа класса A от чисел класса B. Само число a является либо
наибольшим числом в классе A (и тогда в классе B нет наименьшего числа), ли-
бо наименьшим числом в классе B (и тогда в классе A нет наибольшего числа).
Это утверждение составляет содержание теоремы Дедекинда.
Понятие числового поля обобщает понятие совокупности чисел. Обобщение
происходит путем отвлечения от конкретной природы объектов и прав ил опе-
раций над ними.
Числовым полем K называют всякую совокупность объектов , называемых
числами, в которой можно производить с этими о бъектами четыре арифметиче-
ских действия. Любой паре чисел a и b из K отвечают число c = a+b, называемое
суммой чисел a и b, и число d = a·b ( или d = ab), называемое произведением чи-
сел a и b, причем все a, b, c, d ∈ K. Операции сложения и умножения подчинены
следующим аксиомам.
I. Операция сложения чисел коммутативна, т.е. для всех a, b ∈ K справед-
ливо a + b = b + a.
II. Операция сложения чисел ассоциативна: для всех a, b, c ∈ K справедливо
(a + b) + c = a + (b + c).
III. Для всех a ∈ K существует нулевой элемент 0 ∈ K, такой что a + 0 = a.
IV. Для всех a ∈ K существует такой противоположный элемент b ∈ K, что
a + b = 0.
V. Операция умножения чисел коммутативна: для любых a, b ∈ K справед-
ливо ab = ba.
VI. Для всех a ∈ K существует единичный элемент 1 ∈ K, такой, что 1·a = a.
VII. Операция умножения чисел ассоциативна: для любых a, b, c ∈ K спра-
ведливо a(bc) = (ab)c.
VIII. Для любого a ∈ K существует обратный элемент b ∈ K, такой что
ab = 1 (обратный элемент b = 1/a = a
−1
).
Операции сложения и умножения связаны. О перация умножения дистрибу-
тивна по отношению к сложению: для любых a, b, c ∈ K справедливо (a + b)c =
ac + bc.
♦ Разрешимость уравнения a + b = 0 для всех a ∈ K позволяет ввести
операцию вычитания. Разность a−b, по определению, есть a+c, где c — решение
уравнения b + c = 0.
♦ Разрешимость уравнения ab = 1 для всех не равных нулю a ∈ K позволяет
ввести операцию деления на a 6= 0. Частное b/a есть произведение bc, где c –
решение уравнения ac = 1.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
