ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
74 Глава 2. Системы линейных у равнений
Теперь, если матрица A неособенная, т.е. det A 6= 0, то можно найти обратную
ей матрицу A
−1
и умножить уравнение (6.2) на A
−1
слева. В результате получим
X = A
−1
B. (7.5)
С учетом теоремы 5.1 матрицу A
−1
можно записать как матрицу, составлен-
ную из алгебраических дополнений A
i
j
; в покомпонентной записи это уравнение
имеет вид
X =
x
1
x
2
. . .
x
n
= A
−1
B =
1
D
D
1
D
2
. . .
D
n
,
откуда и следуют формулы Крамера.
Нужно, однако, отметить, что матричный метод имеет по крайней мере одно
очень важное преимущество. Если в ра ссматриваемой системе алгебраических
уравнений меняется только правая часть (ситуация, распростра ненная в иссле-
довательских задачах), то матричный метод при найденной однажды матрице
A
−1
позволяет найти новые решения системы по формуле (7.5), тогда как в
методе Крамера каждый раз приходится заново проделывать б ольшой объем
вычислений, чтобы найти определители D
j
.
Именно поэтому мы рассмотрим несколько примеров решения систем ли-
нейных уравнений матричным методом.
Пример 7.3. Решить систему уравнений
3x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 5,
2x
1
− x
2
+ x
3
= 6,
x
1
+ 5x
2
= −3.
Решение. Выпишем основную матрицу систему
3 2 1
2 −1 1
1 5 0
!
и вычислим ее определитель
det A =
3 2 1
2 −1 1
1 5 0
!
= −2.
Так как det A = −2 6= 0, то существует единственное решение системы. Чтобы
найти его, вычислим обратную матрицу A
−1
. Не останавливаясь на подробно-
стях ее вычисления (см. примеры 5.1–5.3), запишем основные этапы ее нахож-
дения: выпишем
A
⊺
=
3 2 1
2 −1 5
1 1 0
!
и найдем союзную матрицу
¯
A =
−5 5 3
1 −1 −1
11 −13 −7
!
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- …
- следующая ›
- последняя »
