ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
76 Глава 2. Системы линейных у равнений
7.3. Метод Гаусса–Жордана
Рассмотренные выше матричный метод и метод Крамера обладают тем недо-
статком, что они не дают ответа в том случае, когда det A = 0 , а определяют
лишь единственное решение при det A 6= 0. Еще одним недостатком является то,
что объем математических вычислений в рамках этих методов резко возрастает
с ростом числа уравнений.
Методом, практически свободным от этих недостатков, является метод ис-
ключения, или метод Гаусса–Жордана — один из наиболее известных и широко
применяемых методов решения систем линейных уравнений. Для наглядности
суть метода выясним на примере системы трех уравнений с тремя неизвестны-
ми. Последующие обобщения, как правило, затруднений не вызывают.
Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными
a
1
1
x
1
+ a
1
2
x
2
+ a
1
3
x
3
= b
1
; (7.6)
a
2
1
x
1
+ a
2
2
x
2
+ a
2
3
x
3
= b
2
; (7.7)
a
3
1
x
1
+ a
3
2
x
2
+ a
3
3
x
3
= b
3
. (7.8)
В такой системе по крайней мере один из коэффициентов a
1
1
, a
2
2
, a
3
3
должен быть
отличным от нуля, иначе мы имели бы дело в этих трех уравнениях только с
двумя неизвестными. Если a
1
1
= 0 , то можно переставить уравнения так, что-
бы коэффициент при x
1
в первом уравнении был отличен от нуля. Очевидно,
что такая перестановка уравнений оставляет систему неизменной: ее решение
остается прежним.
Теперь введем множитель m
2
= a
2
1
/a
1
1
. Умножим первое уравнение системы
на m
2
и вычтем его из уравнения (7.7). («Первое» и «вто ро е» уравнения мы бе-
рем уже после перестановки, если она была необходима.) Результат вычитания
равен
(a
2
1
− m
2
a
1
1
)x
1
+ (a
2
2
− m
2
a
1
2
)x
2
+ (a
2
3
− m
2
a
1
3
)x
3
= b
2
− m
2
b
1
.
Но ведь
a
2
1
− m
2
a
1
1
= a
2
1
−
a
2
1
a
1
1
a
1
1
= 0,
так что x
1
исключен из второго уравнения (именно для достижения такого
результата и было выбрано значение m
2
). Определим теперь новые коэффици-
енты:
˜a
2
2
= a
2
2
− m
2
a
1
2
,
˜a
2
3
= a
2
3
− m
2
a
1
3
,
˜
b
2
= b
2
− m
2
b
1
.
Тогда уравнение (7.7) приобретет вид
˜a
2
2
x
2
+ ˜a
2
3
x
3
=
˜
b
2
. (7.9)
Заменим второе из первоначальных уравнений (7.7) уравнением (7.9) и введем
множитель m
3
= a
3
1
/a
1
1
для третьего уравнения. Умножим уравнение (7.6) на
этот множитель и вычтем его из (7.8). Коэффициент при x
1
снова становится
нулевым, и третье уравнение приобретет вид
˜a
3
2
x
2
+ ˜a
3
3
x
3
=
˜
b
3
, (7.10)
где
˜a
3
2
= a
3
2
− m
3
a
1
2
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- …
- следующая ›
- последняя »
