ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7. Системы n линейных уравнений с n неизвестными 77
˜a
3
3
= a
3
3
− m
3
a
1
3
,
˜
b
3
= b
3
− m
3
b
1
.
Если теперь в исходной системе уравнений заменить (7.8) на (7.10), то новая
система, которую мы будем называть упрощенной, выглядит так:
a
1
1
x
1
+ a
1
2
x
2
+ a
1
3
x
3
= b
1
; (7.11)
˜a
2
2
x
2
+ ˜a
2
3
x
3
=
˜
b
2
; (7.12)
˜a
3
2
x
2
+ ˜a
3
3
x
3
=
˜
b
3
. (7.13)
Эти новые уравнения полностью эквивалентны исходным с тем преимуществом,
что x
1
входит т олько в первое уравнение и не входит ни во второе, ни в третье.
Таким образом, два последних уравнения представляют собой систему двух
уравнений с двумя неизвестными. Если теперь найти решение это й системы,
т.е. определить x
2
и x
3
, то результат можно подставить в первое уравнение и
найти x
1
. Иначе говоря, задача сведена к решению системы двух уравнений с
двумя неизвестными.
Попытаемся теперь исключить x
2
из уравнений (7.1 2) и (7.13). Рассмотрим
последовательно возможные варианты. Для начала будем считать, что ˜a
2
2
6= 0
и ˜a
3
2
6= 0.
Введем новый множитель
˜m
3
=
˜a
3
2
˜a
2
2
.
Умножим уравнение (7.12 ) на ˜m
3
и вычтем его из (7.13). Результат вычитания
равен
(˜a
3
2
− ˜m
3
˜a
2
2
)x
2
+ (˜a
3
3
− ˜m
3
˜a
2
3
)x
3
=
˜
b
3
−
˜
b
2
˜m
3
.
В силу выбора ˜m
3
˜a
3
2
− ˜m
3
˜a
2
2
= 0.
Положив
˜
˜a
3
3
= ˜a
3
3
− ˜m
3
˜a
2
3
,
˜
˜
b
3
=
˜
b
3
− ˜m
3
˜
b
2
,
окончательно получим
˜
˜a
3
3
x
3
=
˜
˜
b
3
. (7.14)
Уравнение (7.13) можно заменить уравнением (7.14), после чего система урав-
нений приобретет следующий вид:
a
1
1
x
1
+ a
1
2
x
2
+ a
1
3
x
3
= b
1
; (7.15)
˜a
2
2
x
2
+ ˜a
2
3
x
3
=
˜
b
2
; (7.16)
˜
˜a
3
3
x
3
=
˜
˜
b
3
. (7.17)
Такая упрощенная система иногда называется треугольной из-за своего внеш-
него вида.
Проанализируем возможные варианты системы (7.15)–(7.17).
1. Пусть
˜
˜a
3
3
6= 0 при любом
˜
˜
b
3
. Сопоставим этот вариант с теоремой Кронекера–
Капелли. Для это го выпишем расширенную матрицу системы
e
A =
a
1
1
a
1
2
a
1
3
0 ˜a
2
2
˜a
2
3
0 0
˜
˜a
3
3
b
1
˜
b
2
˜
˜
b
3
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- …
- следующая ›
- последняя »
