ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7. Системы n линейных уравнений с n неизвестными 79
˜a
2
2
x
2
+ ˜a
2
3
x
3
= b
2
,
а расширенная матрица системы примет вид
e
A =
a
1
1
a
1
2
a
1
3
0 ˜a
2
2
˜a
2
3
0 0 0
b
1
˜
b
2
0
.
В этом случае rang
e
A = rang A = 2 < 3. Это означает, что система сов-
местна, но не определена, т.е. имеет множество решений. Чтобы найт и их,
поступим следующим образом. Выделим базисный минор 2-го порядка, ко-
торый по определению отличен от нуля, так как rang
e
A = 2. Неизвестные,
принадлежащие базисному минору (будем называть их базисными), оставим
в левой части уравнений, а остальные переменные, кото рые будем называть
свободными (или параметрическими), перенесем в правую часть. В резуль-
тате получим систему треугольного вида
a
1
1
x
1
+ a
1
2
x
2
= b
1
− a
1
3
x
3
, (7.21)
˜a
2
2
x
2
=
˜
b
2
− ˜a
2
3
x
3
. (7.22)
Найдя из второго уравнения x
2
и подставив его в первое уравнение, получим
выражение базисных неизвестных x
1
и x
2
через свободную неизвестную x
3
:
x
1
=
b
1
−
a
1
2
˜
b
2
˜a
2
2
+
a
1
3
+
a
1
2
˜a
2
3
˜a
2
2
x
3
,
x
2
=
˜
b
2
˜a
2
2
−
˜a
2
3
˜a
2
2
x
3
.
Задав свободной неизвестной x
3
различные значения, получим множество
решений системы (7.15)–(7.17).
Вернемся теперь к системе уравнений (7.11)–(7.13).
3. Если из коэффициентов ˜a
2
2
, ˜a
3
2
только один отличен от нуля, т о, таким
образом, мы сразу имеем систему (7.15)–(7.17), процедура решения которой
уже рассмотрена.
4. Если оба коэффициента ˜a
2
2
и ˜a
3
2
равны нулю, т.е. ˜a
2
2
= ˜a
3
2
= 0, то система
(7.11)–(7.13) примет вид
a
1
1
x
1
+ a
1
2
x
2
+ a
1
3
x
3
= b
1
;
˜a
2
3
x
3
=
˜
b
2
;
˜a
3
3
x
3
=
˜
b
3
.
В этом случае возможен вариант, когда эта система сведется к виду
a
1
1
x
1
+ a
1
2
x
2
+ a
1
3
x
3
= b
1
;
0 = 0;
0 = 0.
В результате останется одно уравнение, а из вида расширенной матрицы
e
A =
a
1
1
a
1
2
a
1
3
0 0 0
0 0 0
b
1
0
0
!
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
