ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7. Системы n линейных уравнений с n неизвестными 81
Пример 7.6. Решить систему уравнений
2x
1
+ x
2
− x
3
= −1;
x
1
− x
2
+ 2x
3
= 0;
4x
1
− x
2
+ 3x
3
= −1.
Решение. Прежде всего отметим, что эта система отличается от системы, рас-
смотренной в предыдущем примере, только одним коэффициентом при неиз-
вестной x
3
в третьем уравнении. Однако, как мы увидим далее, это кардинально
меняет характер решения.
Действительно, запишем расширенную матрицу системы
e
A =
2 1 −1
1 −1 2
4 −1 3
−1
0
−1
!
.
Проведем следующие элемента рные преобразования:
e
A =
2 1 −1
1 −1 2
4 −1 3
−1
0
−1
!
S
1
−S
2
∼
1 −1 2
2 1 −1
4 −1 3
0
−1
−1
!
S
2
−2S
1
∼
S
3
−4S
1
∼
1 −1 2
0 3 −5
0 3 −5
0
−1
−1
!
S
3
−S
2
∼
1 −1 2
0 3 −5
0 0 0
0
−1
0
!
S
2
/3
∼
∼
1 −1 2
0 1 −
5
3
0 0 0
0
−
1
3
0
S
1
−S
2
∼
1 0
1
3
0 1 −
5
3
0 0 0
−
1
3
−
1
3
0
.
Здесь rang A = rang
e
A = r = 2, а n = 3, т.е. имеем случай 2б (r < n). Сле-
довательно, данная система имеет бесконечное множество решений, зависящих
от одной свободной переменной. Запишем систему (по той матрице, к какой
приведена
e
A), перенеся столбец с x
3
в правую часть:
x
1
= −
1
3
−
1
3
x
3
;
x
2
= −
1
3
+
5
3
x
3
.
Здесь x
1
и x
2
— базисные неизвестные переменные, а x
3
может принимать произ-
вольное значение C. Из второго уравнения системы определим x
2
, а из первого
уравнения x
1
. Получим
x
1
=
−1 − C
3
, x
2
=
5C −1
3
.
Таким образом, множество решений системы можно записать в виде
x
1
= −
1 + C
3
,
x
2
=
5C −1
3
,
x
3
= C,
где C — произвольная постоянная.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- …
- следующая ›
- последняя »
