Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

82 Глава 2. Системы линейных у равнений
Пример 7.7. Решить систему уравнений
2x
1
+ x
2
− x
3
= −1;
x
1
− x
2
+ 2x
3
= 0;
4x
1
− x
2
+ 3x
3
= 2.
Решение. Прежде всего отметим, что эта система отличается от системы, ра с-
смотренной в предыдущем примере, толь ко свободным членом в третьем урав-
нении. Однако, как мы увидим далее, это существенно меняет структуру реше-
ния.
Выпишем расширенную матрицу системы
e
A =
2 1 −1
1 −1 2
4 −1 3
−1
0
2
!
.
Для удобства дальнейших вычислений поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, а
затем выполним указанные элементарные преобразования:
e
A =
2 1 −1
1 −1 2
4 −1 3
−1
0
2
!
S
2
−2S
1
∼
S
3
−4S
1
1 −1 2
0 3 −5
0 3 −5
0
−1
−2
!
S
3
−S
2
∼
∼
1 −1 2
0 3 −5
0 0 0
0
−1
3
!
S
3
/3
∼
1 −1 2
0 3 −5
0 0 0
0
−1
1
!
.
Отсюда следует, что система несовместна, поскольку rang A = 2, rang
e
A = 3,
т.е. rang
e
A 6= rang A. Впрочем, к этому же результату можно было прийти, не
вычисляя ранги матриц A и
e
A, а просто по наличию несовместной строки
(
0 0 0 | 1
)
в упрощенной ра сширенной мат рице.
8. Произвольные системы линейных уравнений
Рассмотренные выше методы применимы к тем системам линейных урав-
нений, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Вернемся
теперь к системам, в которых число уравнений не сов па дает с числом неизвест-
ных, т.е. m 6= n:
a
1
1
x
1
+ a
1
2
x
2
+ . . . + a
1
n
x
n
= b
1
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m
1
x
1
+ a
m
2
x
2
+ . . . + a
m
n
x
n
= b
m
.
(8.1)
Поскольку матрица системы A является прямоугольной матрицей размера m ×
n, то матричный метод и метод Крамера в этом случае неприменимы. Поэтому
системы линейных уравнений общего вида (8.1) решаются методом Гаусса.
Напомним, что суть метода заключается в том, чтобы путем элементарных
преобразований из всех уравнений системы,кроме первого, исключить неизвест-
ное x
1
; далее из всех уравнений, кроме первого и второго, исключить неизвест-
ное x
2
и т.д. На практике все эти действия, как это показано в примерах 7.5–7.7,
удобнее проводить не с уравнениями системы, а со строками расширенной ма т-
рицы.

Страницы