ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8. Произвольные системы линейных уравнений 83
При проведении элементарных преобразований происходит не только упро-
щение расширенной матрицы, но и одновременно решается вопрос о совместно-
сти системы и количестве решений. Действительно, как уже упоминалось, если
в процессе элементарных преобразований появляется противоречивая строка,
например
(
0 0 0 . . . 0 | 1
) ,
это означает, что система несовместна.
Если же в процессе упрощения появляются нулевые строки
(
0 0 0 . . . 0 | 0
) ,
это означает уменьшение числа линейно независимых уравнений на число таких
строк.
Таким образом, если в результате элементарных преобразований матрица
A системы приводится к треугольному виду, то система имеет единственное
решение. Если же матрица A приводится к трапецеидальному виду, т о система
является неопределенной. При этом число ба зисных неизвестных определяется
рангом r расширенной матрицы, а число свободных — ра зностью n − r.
На заключительном этапе базисные неизвестные обрат ным преобразованием
находятся через свободные (параметрические) неизвестные. Эту зависимость,
в которой неизвестные принимают всевозможные произвольные значения, на-
зывают еще общим решением системы. Если свободные неизвестные зафикси-
ровать, придав им некоторые частные значения, то общее решение переходит в
так называемое частное решение неопределенной системы.
Пример 8.1. Решить систему уравнений
x
1
+ 2x
2
+ 5x
3
= −9;
x
1
− x
2
+ 3x
3
= 2;
3x
1
− 6x
2
− x
3
= 25;
x
1
− x
2
+ x
3
= 4.
Решение. Для трех неизвестных x
1
, x
2
, x
3
имеем систему из четырех уравне-
ний. Выпишем расширенную матрицу системы и проведем указанные элемен-
тарные преобразования:
e
A =
1 2 5
1 −1 3
3 −6 −1
1 −1 1
−9
2
22
4
S
2
−S
1
∼
S
3
−3S
1
S
4
−S
1
1 2 5
0 −3 −2
0 −12 −16
0 −3 −4
−9
11
52
13
S
3
−4S
2
∼
S
4
−S
2
∼
1 2 5
0 −3 −2
0 0 −8
0 0 −2
−9
11
8
2
−S
3
/8
∼
−S
4
/2
1 2 5
0 −3 −2
0 0 1
0 0 1
−9
11
−1
−1
∼
S
4
−S
3
1 2 5
0 −3 −2
0 0 1
0 0 0
−9
11
−1
0
.
Отсюда следует, что одно уравнение является линейной комб инацией первых
трех. Кроме того, матрицу A системы (часть
e
A) удалось привести к треуголь-
ному виду, что означает совместность и определенность системы, т.е. система
имеет единственное решение. Это решение находится обратным преобразова-
нием ( ходом) метода Гаусса. Выпишем систему уравнений, соответствующую
упрощенной расширенной матрице:
x
1
+ 2x
2
+ 5x
3
= −9,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- …
- следующая ›
- последняя »
