ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
84 Глава 2. Системы линейных у равнений
−3x
2
− 2x
3
= 11,
x
3
= −1.
Из третьего уравнения следует, что x
3
= −1, из второго —
−3x
2
= 11 + 2x
3
= 11 − 2 = 9, x
2
= −3,
а из первого
x
1
= −9 − 2x
2
− 5x
3
= −9 + 6 + 5 = 2, x
1
= 2.
Таким об ра зом, x
1
= 2, x
2
= −3, x
3
= −1.
Это решение иногда записывают в матричной фо рме:
X =
x
1
x
2
x
3
!
=
2
−3
−1
!
.
Подчеркнем, что мы нигде не воспользовались теоремой Кронекера–Капелли,
хотя результат полностью ей соответствует, поскольку rang A = rang
e
A = 3, т.е.
система имеет единственное решение.
Пример 8.2. Решить систему уравнений
x
1
+ x
2
− 2x
3
− x
4
+ x
5
= 1;
3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 4;
x
1
+ 5x
2
− 9x
3
− 8x
4
+ x
5
= 0.
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и проведем указанные эле-
ментарные преобразования:
e
A =
1 1 −2 −1 1
3 −1 1 4 3
1 5 −9 −8 1
1
4
0
!
S
2
−3S
1
∼
S
3
−S
1
1 1 −2 −1 1
0 −4 7 7 0
0 4 −7 −7 0
1
1
−1
!
∼
S
3
+S
2
∼
1 1 −2 −1 1
0 −4 7 7 0
0 0 0 0 0
1
1
0
!
.
Отсюда следует, что система совместна и не определена. Уже на этом этапе,
выбрав в качестве б азисных неизвестных x
1
и x
2
, обратным преобразованием
можно найти их зависимость от свободных переменных x
3
, x
4
, x
5
. Однако ино-
гда удобнее базисный минор привести к диагональному виду, что упрощает
проведение обратных преобразований. Действительно, продолжим элементар-
ные преобразования:
e
A =
1 1 −2 −1 1
0 −4 7 7 0
0 0 0 0 0
1
1
0
!
S
1
+S
2
/4
∼
1 0 −1/4 3/4 1
0 −4 7 7 0
0 0 0 0 0
5/4
−1/4
0
!
−S
2
/4
∼
∼
1 0 −1/4 3/4 1
0 1 −7/4 −7/4 0
0 0 0 0 0
5/4
−1/4
0
!
.
Выпишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной мат-
рице:
x
1
−
1
4
x
3
+
3
4
x
4
+ x
5
=
5
4
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
