ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
86 Глава 2. Системы линейных у равнений
Пример 8.3. Решить систему уравнений
x
1
+ x
2
− x
4
+ x
5
= 1;
2x
1
+ x
3
+ 3x
4
− x
5
= 2;
−2x
2
+ x
3
+ 5x
4
− 3x
5
= 0;
x
1
− 3x
2
+ 2x
3
+ 9x
4
− 5x
5
= 1.
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и проведем указанные эле-
ментарные преобразова ния:
e
A =
1 1 0 −1 1
2 0 1 3 −1
0 −2 1 5 −3
1 −3 2 9 −5
1
2
0
1
S
2
−2S
1
∼
S
4
−S
1
1 1 0 −1 1
0 −2 1 5 −3
0 −2 1 5 −3
0 −4 2 10 −6
1
0
0
0
∼
S
3
−S
2
S
4
−2S
2
∼
1 1 0 −1 1
0 −2 1 5 −3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
0
0
0
.
Отсюда следует, что система совместна и не определена. Выбрав базисными
неизвестными x
1
и x
2
, обратным преобразованием можно найти общее решение.
Однако обратим внимание, что в данном случае в качестве базовых удобнее
выбрать неизвестные x
1
и x
3
. П ри таком выборе сразу получим общее решение
в виде
x
1
= 1 − x
2
+ x
4
− x
5
,
x
3
= 2x
2
− 5x
4
+ 3x
5
,
где свободными неизвестными являются x
2
, x
4
, x
5
. При необходимости это общ ее
решение можно записать в виде (8.2).
Пример 8.4. Систему линейных уравнений
x
1
+ x
2
− x
4
+ x
5
= 1;
2x
1
+ x
3
+ 3x
4
− x
5
= 2;
−2x
2
+ x
3
+ 5x
4
− 3x
5
= 0;
x
1
− 3x
2
+ 2x
3
+ 9x
4
− 5x
5
= λ
исследовать на совместность.
Решение. Число уравнений меньше числа неизвестных. Выясним, при каких
значениях параметра λ система совместна. Запишем расширенную мат рицу си-
стемы и проведем указанные элементарные преобразования:
e
A =
1 1 0 −1 1
2 0 1 3 −1
0 −2 1 5 −3
1 −3 2 9 −5
1
2
0
λ
S
2
−2S
1
∼
S
4
−S
1
1 1 0 −1 1
0 −2 1 5 −3
0 −2 1 5 −3
0 −4 2 10 −6
1
0
0
λ − 1
∼
S
3
−S
2
S
4
−2S
2
∼
1 1 0 −1 1
0 −2 1 5 −3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1
0
0
λ − 1
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- …
- следующая ›
- последняя »
