Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9. Однородные системы линейных уравнений 87
Отсюда следует, что система совместна только тогда, когда λ − 1 = 0, т.е. при
λ = 1. В этом случае rang A = rang
e
A = 2 и общее решение системы получено в
предыдущем примере.
Для всех других λ, т.е. λ 6= 1 система несовместна, поскольку в эквивалент-
ной расширенной матрице присутствует противоречивая строка
(
0 0 0 0 0 | λ − 1
) ,
что соответствует нера венству рангов: rang A = 2, rang
e
A = 3, rang A 6= r ang
e
A.
Пример 8.5. Решить систему уравнений
24x
1
+ 14x
2
+ 30x
3
+ 40x
4
+ 41x
5
= 28;
36x
1
+ 21x
2
+ 45x
3
+ 61x
4
+ 62x
5
= 43;
48x
1
+ 28x
2
+ 60x
3
+ 82x
4
+ 83x
5
= 58;
60x
1
+ 35x
2
+ 75x
3
+ 99x
4
+ 102x
5
= 69.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы и проведем указанные эле-
ментарные преобразова ния:
e
A =
24 14 30 40 41
36 21 45 61 62
48 28 60 82 83
60 35 75 99 102
28
43
58
69
S
2
−S
1
∼
S
3
−2S
1
S
4
−S
1
−S
2
24 14 30 40 41
12 7 15 21 21
0 0 0 2 1
0 0 0 −2 −1
28
15
2
−2
S
1
−2S
2
∼
∼
0 0 0 −2 −1
12 7 15 21 21
0 0 0 2 1
0 0 0 −2 −1
28
15
2
−2
∼
S
3
+S
1
S
4
−S
1
0 0 0 −2 −1
12 7 15 21 21
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
−2
15
0
0
.
Выпишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной мат-
рице:
12x
1
+ 7x
2
+ 15x
3
+ 21x
4
+ 21x
5
= 15,
2x
4
+ x
5
= 2.
В качестве базисных неизвестных выберем переменные x
1
и x
4
. Выразив x
4
из
второго уравнения:
x
4
= 1 −
1
2
x
5
и подставив его в первое, найдем
12x
1
+ 7x
2
+ 15x
3
+ 21
1 −
1
2
x
5
+ 21x
5
= 15.
Отсюда
x
1
= −
1
2
−
7
12
x
2
−
5
4
x
3
−
7
8
x
5
.
Таким образом, общее решение имеет в ид
x
1
= −
1
2
−
7
12
x
2
−
5
4
x
3
−
7
8
x
5
,
x
4
= 1 −
1
2
x
5
,
что при необходимости можно записать в виде (8.2).

Страницы