Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

88 Глава 2. Системы линейных у равнений
9. Однородные системы линейных уравнений
Рассмотрим теперь системы линейных однородных уравнений
AX = 0, (9.1)
где
A =
a
1
1
. . . a
1
n
. . . . . . . . . . . .
a
m
1
. . . a
m
n
!
, X =
x
1
. . .
x
n
!
. (9.2)
Все предыдущие результаты, полученные для систем линейных уравнений,
разумеется, верны и для однородных систем. Из теоремы Кронекера–Капелли
следует, что однородная система всегда совместна, поскольку добавление столб-
ца из нулей в ра сш иренную матрицу системы не может пов ысить ее ранг. Впро-
чем, это видно и непосредственно — система (9.1) заведомо имеет нулевое ре-
шение
X =
x
1
.
.
.
x
n
=
0
.
.
.
0
,
которое еще называют тривиальным.
Очевидно, что при решении однородных систем наибольший интерес пред-
ставляет задача о нахождении нетривиальных решений, а такие решения могут
иметь только неопределенные системы. Если однородная система — определен-
ная, то ее единственным решением является тривиальное. Условия, при кото-
рых однородная система (9.1) является определенной или неопределенной, дает
следующая теорема.
Теорема 9.1. Для того чтобы система (9.1) имела нетривиальное решение,
необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы A был меньше числа неиз-
вестных, т.е. rang A < n.
Доказательство. Ка к и раньше, обозначим rang A = r. Как следует из тео-
ремы 7.1, если r = n, то система (9.1) имеет единственное и, значит, то ль ко
нулевое решение, вытекающее, например, из (7.4)
X =
x
1
.
.
.
x
n
=
0
.
.
.
0
.
Если же r < n, то система (9.1) является неопределенной, поскольку несовмест-
ной она быть не может, и, значит, она имеет бесчисленное множество решений,
в том числе и нетривиальных.
Следствие 9.1.1. Система n линейн ых однородных уравнений с n неизвест-
ными тогда и только тогда имеет нетривиальные решения, когда определи-
тель этой системы равен нулю, т . е. det A = 0.
В самом деле, равенство нулю этого определителя означает, что rang A < n и
система является неопределенной и, следовательно, имеет нетривиальные ре-
шения.
Следствие 9.1.2. Если в системе однородных уравнен ий (9.1) число уравне-
ний меньш е числа неизвестных, то система обязательно имеет нетривиаль-
ные решения.

Страницы