ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
90 Глава 2. Системы линейных у равнений
Покажем, что эти решения линейно независимы. Из столбцов (9.6) составим
матрицу
x
1
1
x
1
2
. . . x
1
n−r
. . . . . . . . . . . . . . . . .
x
r
1
x
r
2
. . . x
r
n−r
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1
.
Минор M порядка (n − r) этой матрицы, расположенный в (n − r) последних
строках, равен единице. Это означает, что ранг этой матрицы равен (n −r), и,
следовательно, (n −r) столбцов из (9.6) линейно независимы, что и требовалось
доказать.
Совокупность решений (9.6) называется нормальной фундаментальной
системой решений однородной системы (9.1).
Из нормальной системы (9.6), согласно теореме 9.2, можно составить другие
линейно независимые системы решений.
Люба я система из (n −r) линейно независимых решений (9.1) называется
ее фундаментальной системой.
Теорема 9.4. Если X
1
, X
2
, . . . , X
n−r
— нормальная фундаментальная систе-
ма однородной системы (9.1), то любое решение X этой системы представ-
ляет собой линейную комбинацию фундаментальных решений, т.е.
X = C
1
X
1
+ C
2
X
2
+ . . . + C
n−r
X
n−r
. (9.7)
Доказательство. Пусть
X =
x
1
. . .
x
r
x
r+1
. . .
x
n
, X
1
=
x
1
1
. . .
x
r
1
1
. . .
0
, . . . , X
n−r
=
x
1
n−r
. . .
x
r
n−r
0
. . .
1
.
Рассмотрим линейную комбинацию
X
0
= X − x
r+1
X
1
− x
r+2
X
2
− . . . − x
n
X
n−r
(9.8)
или в развернутой записи
X
0
=
x
1
0
. . .
x
r
0
x
r+1
0
. . .
x
n
0
=
x
1
. . .
x
r
x
r+1
. . .
x
n
− x
r+1
x
1
1
. . .
x
r
1
1
. . .
0
− . . . − x
n
x
1
n−r
. . .
x
r
n−r
0
. . .
1
=
˜x
1
0
. . .
˜x
r
0
0
. . .
0
,
где
˜x
j
0
= x
j
−
n−r
X
l=1
x
r+l
x
j
l
.
Из этого соотношения следует, что последние (n − r) элементов линейной ком-
бинации X
0
равны нулю. Но X
0
, будучи линейной комбинацией решений (9.1),
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
