ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
92 Глава 2. Системы линейных у равнений
отличен от нуля. Следовательно, rang A = 3. Поскольку ранг матрицы A равен
числу неизвестных, то система имеет то лько тривиальное решение
X =
x
1
x
2
x
3
!
=
0
0
0
!
.
Пример 9.2. Определить значение параметра λ, при котором система имеет
нетривиальные решения, и найти эти решения
x
1
+ λx
2
+ 2x
3
= 0,
4x
1
− x
2
+ 7x
3
= 0,
2x
1
+ x
2
+ 3x
3
= 0.
Решение. У ра ссматриваемой системы число уравнений равно числу неизвест-
ных, т.е. матрица системы
A =
1 λ 2
4 −1 7
2 1 3
!
(9.10)
является квадратной. Согласно следствию 9.1.1, система имеет нетривиальное
решение, если det A = 0. Вычислив определитель матрицы (9.10) и приравняв
его к нулю:
1 λ 2
4 −1 7
2 1 3
= 2λ + 2 = 0,
найдем λ = −1. Таким образом, исходная система имеет нетривиальное решение
при λ = −1. Подставив λ = −1 в (9.10) и проделав указанные элементарные
преобразования, получим
1 −1 2
4 −1 7
2 1 3
!
S
2
−S
1
∼
S
3
+S
1
1 −1 2
3 0 5
3 0 5
!
S
1
−S
2
/3
∼
S
3
−S
1
1 −1 1/3
3 0 5
0 0 0
!
.
Отсюда следует, что rang A = 2 < 3, следовательно, система имеет нетривиаль-
ное решение. Выбрав в качестве базисных неизвестных x
1
и x
2
, найдем
x
2
=
1
3
x
3
, x
1
= −
5
3
x
3
,
т.е. решение системы имеет вид
X =
−5x
3
/3
x
3
/3
x
3
!
= x
3
−5/3
1/3
1
!
.
Считая x
3
произвольной постоянной C, можем записать
X =
x
1
x
2
x
3
!
= C
−5/3
1/3
1
!
. (9.11)
Заметим, что здесь фундаментальная система состоит из одного решения
X
1
=
−5/3
1/3
1
!
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- …
- следующая ›
- последняя »
