ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10. Связь между решениями однородных и неоднородных систем 93
т.е. общее решение можно записать как
X = CX
1
,
где C — произвольная постоянная.
Пример 9.3. Найти фундаментальную систему и общее решение системы урав-
нений
x
1
+ x
2
− 2x
3
− x
4
+ x
5
= 0,
3x
1
− x
2
+ 4x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 0,
x
1
+ 5x
2
− 9x
3
− 8x
4
+ x
5
= 0.
Решение. Здесь число уравнений меньше числа неизвестных, следовательно,
система имеет нетривиальное решение. Выпишем матрицу системы и проделаем
указанные элементарные преобразования:
1 1 −2 −1 1
3 −1 1 4 3
1 5 −9 −8 1
!
∼
S
2
−3S
1
S
3
−S
1
1 1 −2 −1 1
0 −4 7 7 0
0 −4 −7 −7 0
!
S
1
+S
2
/4
∼
S
3
+S
1
∼
1 0 −1/4 3/4 1
0 −4 7 7 0
0 0 0 0 0
!
∼
−S
2
/4
1 0 −1/4 3/4 1
0 1 7/4 7/4 0
0 0 0 0 0
!
.
Отсюда следует, что rang A = 2 < 5. Выберем в качестве базисных неизвестных
x
1
и x
2
, тогда
x
1
= −
1
4
x
3
−
3
4
x
4
− x
5
,
x
2
=
7
4
x
3
+
7
4
x
4
,
и решение запишется в виде
X =
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−x
3
/4 − 3x
4
/4 − x
5
7x
3
/4 + 7x
4
/4
x
3
x
4
x
5
.
Это решение можно представить через фундаментальную систему решений, ко-
торую можно найти, положив x
3
= 1, x
4
= x
5
= 0; x
4
= 1, x
3
= x
5
= 0; x
5
= 1,
x
3
= x
4
= 0. В результате получим следующую нормальную ф ундаментальную
систему решений:
X
1
=
−1/4
7/4
1
0
0
, X
2
=
−3/4
7/4
0
1
0
, X
3
=
−1
0
0
0
1
. (9.12)
С учетом (9.12) общее решение системы можно записать в виде л инейной ком-
бинации
X = C
1
X
1
+ C
2
X
2
+ C
3
X
3
,
где C
1
, C
2
, C
3
— произвольные постоянные.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- …
- следующая ›
- последняя »
