ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10. Связь между решениями однородных и неоднородных систем 95
Теорема 10.3 (о структуре общего решения неоднородной с истемы).
Если X
1
, X
2
, . . . , X
n−r
— любая фундаментальная система приведенной систе-
мы (10.3), а
e
X — любое частное решение неоднородной системы (10.3), то
сумма
X =
e
X + C
1
X
1
+ C
2
X
2
+ . . . + C
n−r
X
n−r
(10.6)
при любых произвольных постоянных C
j
, j = 1, n − r, является общим реше-
нием неоднородной системы (10.1).
Доказательство теоремы следует непосредственно из теорем 10.1 и 10.2 с уче-
том того, что линейная комбинация
C
1
X
1
+ C
2
X
2
+ . . . + C
n−r
X
n−r
определяет общее решение приведенной системы (10.3).
Пример 10.1. Найти общее решение системы
x
1
+ x
2
− 2x
3
− x
4
+ x
5
= 1,
3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 4, (10.7)
x
1
+ 5x
2
− 9x
3
− 8x
4
+ x
5
= 0,
пользуясь фундаментальным решением приведенной системы.
Решение. Выпишем приведенную систему неоднородной системы (10.7):
x
1
+ x
2
− 2x
3
− x
4
+ x
5
= 0,
3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 0,
x
1
+ 5x
2
− 9x
3
− 8x
4
+ x
5
= 0.
Как следует из результатов примера 9.3, ее нормальная фундаментальная си-
стема имеет вид ( 9.12):
X
1
=
−1/4
7/4
1
0
0
, X
2
=
−3/4
7/4
0
1
0
, X
3
=
−1
0
0
0
1
.
Частное решение (10.7)
e
X найдем, положив, например, x
3
= x
4
= x
5
= 0. Тогда
из (10.7) следует
x
1
+ x
2
= 1,
3x
1
− x
2
= 4,
x
1
+ 5x
2
= 0.
Выпишем расширенную матрицу этой системы и проделаем указанные элемен-
тарные преобразования:
1 1
3 −1
1 5
1
4
0
!
S
2
−3S
1
∼
S
3
−S
1
1 1
0 −4
0 4
1
1
−1
!
S
1
+S
2
/4
∼
S
3
+S
2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- …
- следующая ›
- последняя »
