ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
94 Глава 2. Системы линейных у равнений
10. Связь между решениями однородных и
неоднородных систем уравнений
Вернемся к неоднородной системе линейных уравнений
AX = B, (10.1)
где
A =
a
1
1
. . . a
1
n
. . . . . . . . . . . .
a
m
1
. . . a
m
n
!
, X =
x
1
. . .
x
n
!
, B =
b
1
. . .
b
m
!
. (10.2)
Система линейных однородных уравнений
AX = 0 (10.3)
с матрицей A из системы (10.1) называется приведенной системой для системы
(10.1).
Оказывается, между решениями систем (10.1) и (10.3) существует тесная
связь.
Теорема 10.1. Сумма любого решени я неоднородной системы (10.1) с любым
решением ее приведенной системы (10.3) также является решением неодно-
родной системы (10.1).
Доказательство. Пусть X — решение системы (10.1), а X
0
— решение системы
(10.3). Обозначим через X их сумму
X = X + X
0
. (10.4)
Подставив (10 .4 ) в (10.1), найдем
AX = A(X + X
0
) = AX + AX
0
,
откуда с учетом (10.1) и (10.3) имеем
AX = B + 0 = B,
что и требовалось доказать.
Теорема 10.2. Разность двух любых решений неоднородной системы (10 .1)
является решением ее п риведенной системы (10.3).
Доказательство. Пусть X
1
и X
2
удовлетворяют уравнению (10.1), т.е.
AX
1
= B,
AX
2
= B.
(10.5)
Вычтя из первого уравнения (10.5) второе, найдем
A(X
1
− X
2
) = 0,
что и требовалось доказать.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- …
- следующая ›
- последняя »
