ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
96 Глава 2. Системы линейных у равнений
∼
1 0
0 −4
0 0
5/4
1
0
!
−S
2
/4
∼
1 0
0 1
0 0
5/4
−1/4
0
!
.
Отсюда следует, что x
1
= 5/4, x
2
= −1/4, и, стало быть, частное решение
e
X
имеет вид
e
X =
5/4
−1/4
0
0
0
. (10.8)
Теперь, согласно теореме 10.3, общее решение системы (10.7) запишется как
линейная комбинация
X =
e
X + C
1
X
1
+ C
2
X
2
+ C
3
X
3
или в развернутой форме
X =
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
5/4
−1/4
0
0
0
+ C
1
1/4
7/4
1
0
0
+ C
2
−3/4
7/4
0
1
0
+ C
3
−1
0
0
0
1
,
где C
1
, C
2
, C
3
— произвольные постоянные. Отметим, что такой же результат
получен в примере 8.2, но методом Гаусса.
Как было показано выше, совместность неоднородной системы (10.1) уста-
навливается теоремой Кронекера–Капелли. Эта теорема является наиболее рас-
пространенным критерием совместности, но не единственным. Ниже мы сфор-
мулируем еще один критерий совместности системы (10.1). Для это го наряду
с приведенной однородной системой ( 10.3) нам потребуется еще одна система,
называемая сопряженной однородной системой системы (10.1).
Транспонируем матрицу A системы (10.1) и рассмотрим систему n уравне-
ний с m неизвестными y
j
, j = 1, m,
a
1
1
y
1
+ a
2
1
y
2
+ . . . + a
m
1
y
m
= 0 ,
a
1
2
y
1
+ a
2
2
y
2
+ . . . + a
m
2
y
m
= 0 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
a
1
n
y
1
+ a
2
n
y
2
+ . . . + a
m
n
y
m
= 0 .
Эту систему можно записать в матричном виде:
A
⊺
Y = 0, (10.9)
где
Y =
y
1
y
2
. . .
y
m
.
Система (10.9) называется сопряженной однородной системой неоднород-
ной системы ( 9.1).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- …
- следующая ›
- последняя »
