ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10. Связь между решениями однородных и неоднородных систем 97
Теорема 10.4 (Фредгольма). Для того чтобы неоднородная система линей-
ных уравнений (10.1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы к аж-
дое решение сопряженной однородной системы (10.9) удовлетворяло условию
B
⊺
Y = b
1
y
1
+ b
2
y
2
+ . . . + b
m
y
m
= 0, (10.10)
где B — столбец из свободных членов системы (10.1).
Доказательство. 1. Достаточность. Пусть условие (10.10) в ыполняется для
всех решений сопряженной системы (10.9). Тогда система
a
1
1
y
1
+ . . . + a
m
1
y
m
= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
a
1
n
y
1
+ . . . + a
m
n
y
m
= 0,
b
1
y
1
+ . . . + b
m
y
m
= 1
(10.11)
несовместна, поскольку ранг расширенной матрицы системы (10.11) будет боль-
ше ранга матрицы этой системы, т.е.
rang
a
1
1
. . . a
m
1
. . . . . . . . . . . .
a
1
n
. . . a
m
n
b
1
. . . b
m
0
. . .
0
1
> rang
a
1
1
. . . a
m
1
. . . . . . . . . . . .
a
1
n
. . . a
m
n
b
1
. . . b
m
. (10.12)
Так как при транспонировании матрицы ее ранг не меняется, то из неравенства
(10.12) следует еще одно:
rang
e
A
− − −−
0 . . . 0 1
> rang
e
A,
где
e
A =
a
1
1
. . . a
1
n
. . . . . . . . . . . .
a
m
1
. . . a
m
n
b
1
. . .
b
m
!
— расширенная матрица системы (10.1).
Из последнего неравенства следует, что при упрощении расширенной мат-
рицы
e
A элементарными преобразованиями строка (
0 . . . 1
) никоим образом
не может появиться в упрощенной расширенной матрице, поскольку эта стро-
ка не является линейной комбинацией строк расширенной матрицы
e
A. Таким
образом, система (10.1 ) совместна.
2. Необходимость. П усть условие (10.10) не выполняется для всех решений
сопряженной системы (10.9), т.е.
B
⊺
Y = b
1
y
1
+ . . . + b
m
y
m
= λ 6= 0. (10.13)
Транспонируем уравнение (10.1) :
(AX)
⊺
= B
⊺
.
С учетом т ого, что (AX)
⊺
= X
⊺
A
⊺
, последнее уравнение перепишется как
X
⊺
A
⊺
= B
⊺
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- …
- следующая ›
- последняя »
