ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
98 Глава 2. Системы линейных у равнений
Умножив это уравнение на столбец Y , получим
XA
⊺
Y = B
⊺
Y.
Отсюда с учетом (10.9) и (10.13) придем к противоречию
0 = λ,
которое и доказывает вторую часть теоремы.
Пример 10.2. С помощью теоремы Фредгольма исследовать на совместность
систему
x
1
+ x
2
− 2x
3
− x
4
+ x
5
= 1,
3x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ 3x
5
= 4,
x
1
+ 5x
2
− 9x
3
− 8x
4
+ x
5
= 0.
Решение. Поскольку эта система была рассмотрена в примере 10.1, то ответ
известен: система сов местна. Тем не менее, убедимся в этом, воспользовавшись
теоремой Фредгольма. Для этого выпишем сопряженную однородную систему
y
1
+ 3y
2
+ y
3
= 0,
y
1
− y
2
+ 5y
3
= 0,
−2y
1
+ y
2
− 9y
3
= 0,
−y
1
+ 4y
2
− 8y
3
= 0,
y
1
+ 3y
2
+ y
3
= 0.
Над матрицей сопряженной однородной системы проделаем указанные элемен-
тарные преобразования:
1 3 1
1 −1 5
−2 1 −9
−1 4 −8
1 3 1
S
2
−S
1
S
3
+2S
1
∼
S
4
+S
1
S
5
−S
1
1 3 1
0 −4 4
0 7 −7
0 7 −7
0 0 0
S
1
+3S
2
/4
S
3
+7S
2
/4
∼
S
4
+7S
2
/4
1 0 4
0 −4 4
0 0 0
0 0 0
0 0 0
−S
2
/4
∼
1 0 4
0 1 −1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
.
Выбрав в качестве базисных неизвестные y
1
и y
2
, получим y
1
= −4y
3
, y
2
= y
3
.
Отсюда
Y =
y
1
y
2
y
3
!
=
−4y
3
y
3
y
3
!
= y
3
−4
1
1
!
.
Для пров ерки условия (10.10 ) выпишем столбец из свободных членов исследу-
емой системы
B =
1
4
0
!
и вычислим произведение
B
⊺
Y = (
1 4 0
) y
3
−4
1
1
!
= y
3
(
1 4 0
)
−4
1
1
!
= y
3
(−4 + 4 = 0).
Таким образом, условие (10.1 0) выполнено и исследуемая система, как и следо-
вало ожидать, совместна.
Использование теоремы Фредгольма для практических приложений неэф-
фективно, поскольку связано с решением сопряженной системы линейных ал-
гебраических уравнений, что фактически эквивалентно решению исходной си-
стемы. Тем не менее, она имеет существенное теоретическое значение, как это
будет видно из следующего раздела.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- …
- следующая ›
- последняя »
