Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

9. Однородные системы линейных уравнений 91
согласно теореме 9.2, сама будет решением этой системы и, в частности, будет
удовлетворять системе (9.5). Если теперь принять во внимание, что свободные
неизвестные X
0
как решения равны нулю, т о из (9.5) очевидно, что и значения
базисных неизвестных ˜x
j
0
будут равны нулю. Это означает, что X
0
= 0 и, в свою
очередь, что разность (9.8) также будет равна нулю:
X − x
r+1
X
1
− x
r+2
X
2
− . . . − x
n
X
n−r
= 0.
Следовательно, любое решение X будет линейной комбинацией фундамента ль-
ной системы, т.е.
X = x
r+1
X
1
+ x
r+2
X
2
+ . . . + x
n
X
n−r
.
Переобозначив x
r+1
, x
r+2
, . . . , x
n
через C
1
, C
2
, . . . , C
n−r
, приходим к (9.7), что и
требовалось доказать.
Следствие 9.4.1. Если X
1
, X
2
, . . . , X
n
— любая фундаменальная система ре-
шений однородной системы (9.1), то ее общее решение X представляет собой
линейную комбинацию
X = C
1
X
1
+ C
2
X
2
+ . . . + C
n−r
X
n−r
(9.9)
с произвольными постоянными C
1
, C
2
, . . . , C
n−r
.
Действительно, каждое X
i
из заданной фундаментальной системы само я вля-
ется линейной комбинацией нормальной фундаментальной системы. Подставив
эти комбинации в (9.7) и переобозначив произвольные постоянные C
i
, придем
к (9.9), что и требовалось доказать.
Пример 9.1. Найти фундаментальную систему и общее решение системы урав-
нений
x
1
+ 2x
2
+ 5x
3
= 0,
x
1
− x
2
+ 3x
3
= 0,
3x
1
− 6x
2
− x
3
= 0,
x
1
− x
2
+ x
3
= 0.
Решение. Для однородных систем понятие расширенной матрицы
e
A теряет
смысл, так как она не несет дополнительной информации. Поэтому элементар-
ные преобразования удобнее проводить с матрицей A системы, а не с матрицей
e
A. Выпишем матрицу системы и проделаем указанные элементарные преобра-
зования:
A =
1 2 5
1 −1 3
3 −6 −1
1 −1 1
S
2
−S
1
∼
S
3
−3S
1
S
4
−S
1
1 2 5
0 −3 −2
0 −12 −16
0 −3 −4
∼
S
3
−4S
2
S
4
−S
2
1 2 5
0 −3 −2
0 0 −8
0 0 −2
∼
−S
3
/8
−S
4
/2
∼
1 2 5
0 −3 −2
0 0 1
0 0 1
∼
S
4
−S
3
1 2 5
0 −3 −2
0 0 1
0 0 0
.
Нетрудно заметить, что минор 3-го порядка
1 2 5
0 −3 −2
0 0 1
= −3 6= 0

Страницы