ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
9. Однородные системы линейных уравнений 89
Действительно, в этом случае rang A не может быть равным числу неизвестных,
откуда и вытекает справедливость данного утверждения.
Однородная система (9 .1) обладает одним очень в ажным свойством, которое
не имеет места для неоднородных систем уравнений.
Теорема 9.2. Если X
1
, X
2
, . . . , X
k
— решения однородной системы (9.1), то
всякая линейная комбинация
X = C
1
X
1
+ C
2
X
2
+ . . . + C
k
X
k
(9.3)
также будет решением этой системы.
Доказательство. Согласно условию теоремы,
AX
1
= 0, AX
2
= 0, . . . , AX
n
= 0. (9.4)
Тогда с учетом свойств матриц по лучим
AX = A(C
1
X
1
+ C
2
X
2
+ . . . + C
n
X
n
) = C
1
AX
1
+ C
2
AX
2
+ . . . + C
n
AX
n
= 0,
что и требовалось доказать .
В развитие этой теоремы рассмотрим вопрос о существовании такой линейно
независимой совокупности решений однородной системы (9.1), через которую
выражались бы все оста ль ные ее решения.
Теорема 9.3. Если ранг матрицы A однородной системы (9.1) равен r, т.е.
rang A = r, то система имеет n − r линейно независимых решений.
Доказательство. Если rang A = r, то система (9.1) имеет r линейно независи-
мых уравнений. Выбрав в качестве базисных неизвестных x
1
, x
2
, . . . , x
r
, найдем
их выражение через свободные неизвестные x
r+1
, x
r+2
, . . . , x
n
:
a
1
1
x
1
+ . . . + a
1
r
x
r
= −a
1
r+1
− . . . − a
1
n
x
n
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
r
1
x
1
+ . . . + a
r
r
x
r
= −a
r
r+1
x
r+1
− . . . − a
r
n
x
n
.
(9.5)
Придадим теперь свободным неизвестным следующие (n −r) наборы значе-
ний:
x
r+1
= 1, x
r+2
= 0, x
r+3
= 0, . . . , x
n
= 0,
x
r+1
= 0, x
r+2
= 1, x
r+3
= 0, . . . , x
n
= 0,
x
r+1
= 0, x
r+2
= 0, x
r+3
= 1, . . . , x
n
= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
r+1
= 0, x
r+2
= 0, x
r+3
= 0, . . . , x
n
= 1.
Для каждого набора значений найдем, например, методом Крамера единствен-
ное решение каждой «неоднородной» системы (9.5). Полученные решения за-
пишем в виде
X
1
=
x
1
1
. . .
x
r
1
1
0
. . .
0
, X
2
=
x
1
2
. . .
x
r
2
0
1
. . .
0
, . . . , X
n−r
=
x
1
n−r
. . .
x
r
n−r
0
0
. . .
1
. (9.6)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- …
- следующая ›
- последняя »
