ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
80 Глава 2. Системы линейных у равнений
следует, что rang
e
A = rang A = 1 < 3. Следовательно, базисной неизвестной
будет, например, x
1
, ко торая будет выражаться через свободные неизвестные
x
2
и x
3
:
x
1
= b
1
−
a
1
2
a
1
1
x
2
−
a
1
3
a
1
1
x
3
.
Этим исчерпываются все возможные в арианты упрощенных систем и их реше-
ний для исходной системы (7.6)–(7.8).
Все проведенные выше преобразования удобно записывать в матричной фор-
ме, как это будет сделано в нижеследующих примерах.
Пример 7.5. Решить систему уравнений
2x
1
+ x
2
− x
3
= −1;
x
1
− x
2
+ 2x
3
= 0;
4x
1
− x
2
+ 4x
3
= −1.
Реш ение. Выпишем расширенную матрицу системы
e
A =
2 1 −1
1 −1 2
4 −1 4
−1
0
−1
!
.
Для удобства дальнейших вычислений поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, а
затем выполним указанные элементарные преобразова ния:
e
A =
1 −1 2
2 1 −1
4 −1 4
−1
0
−1
!
S
2
−2S
1
∼
S
4
−4S
1
1 −1 2
0 3 −5
0 3 −4
0
−1
−1
!
S
3
−S
2
∼
1 −1 2
0 3 −5
0 0 1
0
−1
0
!
.
Отсюда найдем, что rang A = 3 6= 0 и rang
e
A = rang A = 3 , т.е. система имеет
единственное решение. Запишем систему, соответствующую полученной расши-
ренной матрице:
x
1
− x
2
+ 2x
3
= 0,
3x
2
− 5x
3
= −1,
x
3
= 0.
Проведя обратную подстановку, найдем единственное решение системы
x
3
= 0,
x
2
=
1
3
(−1 + 5x
3
) = −
1
3
,
x
1
= x
2
− 2x
3
= −
1
3
.
Тот же результат можно получить, воспользовавшись дополнительными эле-
ментарными преобразованиями:
e
A ∼
1 −1 2
0 3 −5
0 0 0
0
−1
0
!
S
2
+5S
3
∼
S
1
−2S
3
1 −1 0
0 3 0
0 0 0
0
−1
0
!
S
2
/3
∼
∼
1 −1 0
0 1 0
0 0 0
0
−1/3
0
!
S
1
+S
2
∼
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−1/3
−1/3
0
!
.
Следовательно, x
1
= −1/3, x
2
= −1/3, x
3
= 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
