ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
78 Глава 2. Системы линейных у равнений
Из нее следует, что rang
e
A = rang A = 3, т.е. система совместна и имеет един-
ственное решение.
Совершенно очевидно, что нужно сделать для нахождения этого единствен-
ного реш ения. Необходимо определить x
3
из (7.17), подставить этот результат в
(7.16); определить x
2
из получившегося уравнения, подставить x
3
и x
2
в (7.15)
и определить x
1
. Это т процесс, который обычно называется обратной подста-
новкой (или обратным ходом), определяется в нашем случае формулами
x
3
=
˜
˜
b
3
˜
˜a
3
3
, (7.18)
x
2
=
˜
b
2
− ˜a
2
3
x
3
˜a
2
2
, (7.19)
x
1
=
b
1
− a
1
2
x
2
− a
1
3
x
3
a
1
1
. (7.20)
2. Пусть
˜
˜a
3
3
= 0. В этом случае очень важно, какое значение имеет величина
˜
˜
b
3
.
2a) Если
˜
˜
b
3
6= 0, то уравнение (7.17) будет иметь вид
0 =
˜
˜
b
3
,
а если разделить на
˜
˜
b
3
6= 0, то
0 = 1.
Как и в предыдущем случае, проанализируем этот результат с точки зрения
теоремы К ро некера–Капелли, выписав расширенную ма трицу системы
e
A =
a
1
1
a
1
2
a
1
3
0 ˜a
2
2
˜a
2
3
0 0 0
b
1
˜
b
2
1
.
Из нее следует, что rang A = 2, rang
e
A = 3, т.е. rang A 6= rang
e
A. Неравенство
рангов означает, что система несовместна, в полном соответ ств ии с невоз-
можностью выполнения равенства 0 = 1. Требование теоремы Кронекера–
Капелли о равенстве рангов станов ится весьма наглядным, если для послед-
ней строки расширенной матрицы выписать соответствующее ей уравнение
0 · x
1
+ 0 · x
2
+ 0 · x
3
= 1.
Очевидно, что не существует таких x
1
, x
2
, x
3
, которые, будучи умноженными
на нуль, в сумме давали бы единицу.
Таким образом, на какой бы стадии упрощения системы мы ни получили
строку вида
(
0 0 0 | 1
) ,
ее наличие б удет означать несовместность системы.
2б. Если
˜
˜
b
3
= 0, то последнее уравнение будет иметь вид
0 = 0,
в результате чего оста нутся только два уравнения:
a
1
1
x
1
+ a
1
2
x
2
+ a
1
3
x
3
= b
1
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- …
- следующая ›
- последняя »
