ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2. Матрицы и действия над матрицами 9
2.2. Простейшие операции над матрицами
Рассмотрим две матрицы A = ka
j
k
k и B = kb
j
k
k размера m × n, элементы
которых принадлежат числовому полю K. Тогда
Суммой двух m×n-матриц A = ka
j
k
k и B = kb
j
k
k называется m×n-матрица
C = kc
j
k
k, элементы которой равны
c
j
k
= a
j
k
+ b
j
k
, j = 1, m, k = 1, n. (2.3)
Для обозначения суммы двух мат риц используется запись C = A + B.
Произведением m × n-матрицы A на число x ∈ K называется матрица
C = kc
j
k
k, элементы c
j
k
которой ра вны
c
j
k
= xa
j
k
, j = 1, m, k = 1, n. (2.4)
Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = xA.
Из соотношений (2.3) и (2.4) непосредственно следует, что для любых m×n-
матриц A, B, C, элементы которых принадлежат полю K, и любых чисел x, y ∈
K справедливы следующие правила:
1) сложение матриц коммутативно: A + B = B + A;
2) сложение матриц ассоциативно: (A + B) + C = A + (B + C);
3) умножение матриц на число ассоциативно: x(yA) = (xy)A;
4) умножение матриц на число дистрибутивно относительно сложения мат-
риц: x(A + B) = xA + xB;
5) умножение мат риц на число дистрибутивно относительно сложения чисел:
(x + y)A = xA + yA.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обо-
значается через 0.
Матрицу (−1)A будем называть противоположной матрице A. Они обла-
дают тем свойством, что
A + (−1)A = 0.
Противоположную матрицу будем обозначать −A.
Сумму матриц A и (−1)B будем называть разностью матриц и о бозна-
чать A − B.
♦ Для квадратной n × n-матрицы A вводится понятие главной и побочной
диагоналей. Главной диагональю матрицы A называют диагональ a
1
1
, a
2
2
, . . . , a
n
n
,
идущую из верхнего левого угла матрицы в правый нижний. Побочной диаго-
налью той же матрицы называется диагональ a
1
n
, a
2
n−1
, . . . , a
n
1
, идущая из левого
нижнего угла в правый верхний.
Матрица B = kb
j
k
k размера m × n называется т ранспонированной по от-
ношению к n × m-матрице A = ka
k
j
k, если a
k
j
= b
j
k
, j = 1, m, k = 1, n. Для
обозначения транспонированной матрицы используются символы A
⊺
, A
t
.
Пример 2.1. Для матриц
A =
0 1 2 0
1 2 1 1
, B =
1 1 0 1
1 2 1 2
, C =
2 2 4 0
0 2 0 4
найти 1) D = A + 2B − 3C, 2) F = 2 (A + B) + C/ 2.
Решение. Все мат рицы имеют размер 2 ×4, и, следовательно, указанные опе-
рации определены. Согласно определениям (2 .3 ) и (2.4), имеем
D = A + 2B − 3C =
0 1 2 0
1 2 1 1
+
2 2 0 2
2 4 2 4
+
−6 −6 −12 0
0 −6 0 −12
=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
