Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 256 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

256 Глава 4. Прямая и плоскость в пространстве
углу в противном случае (рис. 157). Если
~
N
1
= (A
1
, B
1
, C
1
) и
~
N
2
= (A
2
, B
2
, C
2
),
то
cos ϕ =
|
~
N
1
·
~
N
2
|
|
~
N
1
||
~
N
2
|
=
|A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
|
p
A
2
1
+ B
2
1
+ C
2
1
p
A
2
2
+ B
2
2
+ C
2
2
. (29.8)
Это и есть формула для определения угла между плоскостями.
Если плоскость (α) параллельна плоскости (β), то их нормальные векто-
ры
~
N
1
= (A
1
, B
1
, C
1
) и
~
N
2
= (A
2
, B
2
, C
2
) коллинеарны. Из векторной алгебры
известно, что если векторы коллинеарны, то их координаты пр опорциональны
или равны:
A
1
A
2
=
B
1
B
2
=
C
1
C
2
. (29.9)
Это и есть условие параллельности двух плоскостей, совпадающее с (27.20).
Если же плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их норма льные
векторы:
~
N
1
⊥
~
N
2
, и, следовательно, скалярное произведение их равно нулю:
~
N
1
·
~
N
2
= 0 (29.10)
или в координатной форме
A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
= 0. (29.11)
Это и есть условие перпендикулярности двух плоскостей.
Пример 29.2. В декартово й системе координат даны уравнения граней тр¨ехгранного
угла:
4x + 3y − 5z + 16 = 0;
3x − 2y − 4z + 7 = 0;
x + 4y − 2z + 5 = 0.
Написать уравнение плоскости, которая проходит через одно из р¨ебер и пер-
пендикулярна противолежащей грани.
Решение. В качестве ребра, через которое проходит искомая плоскость, выбе-
рем прямую, образованную пересечением граней (плоскостей)
4x + 3y − 5z + 16 = 0;
3x − 2y − 4z + 7 = 0.
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через эту прямую, имеет вид
(4α + 3β)x + (3α − 2β)y + (−5α − 4β)z + (16α + 7β). (29.12)
Для того чтобы плоскость (29.12) была перпендикулярна плоскости (грани)
x + 4y − 2z + 5 = 0, должно выполняться условие ортогональности нормалей
~
N = (4α + 3β, 3α −2β, −5α −4β) и
~
N
1
= (1, 4, −2), т.е.
(4α + 3β) + 4(3α − 2β) − 2(−5α − 4β) = 0.
Тогда
26α + 3β = 0 α = 3, β = −26.
Подставив эти значения в (29.12), получим уравнение плоскости
−66x + 61y + 89z − 134 = 0.

Страницы