ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29. Основные задачи о плоскости и прямой в пространстве 257
29.4. Угол между двумя прямыми в пространстве
Углом между прямыми в пространстве будем называть один из углов, обра-
зованных прямыми, провед¨енными через произвольную т очку P параллельно
данным прямым ℓ
1
и ℓ
2
(рис. 158,a, б).
Пусть даны уравнения прямых в канонической форме:
x − x
1
m
1
=
y −y
1
n
1
=
z −z
1
p
1
, (ℓ
1
)
x − x
2
m
2
=
y −y
2
n
2
=
z −z
2
p
2
, (ℓ
2
)
где m
1
, n
1
, p
1
— координаты вектора ~s
1
= (m
1
, n
1
, p
1
); m
2
, n
2
, p
2
— координаты
вектора ~s
2
= (m
2
, n
2
, p
2
).
Рис. 158.
Угол между прямыми ℓ
1
и ℓ
2
можно выразить через угол между векторами
~s
1
и ~s
2
векторами определяется по формуле
cos ϕ =
|~s
1
·~s
2
|
|~s
1
||~s
2
|
=
|m
1
m
2
+ n
1
n
2
+ p
1
p
2
|
p
m
2
1
+ n
2
1
+ p
2
1
p
m
2
2
+ n
2
2
+ p
2
2
. (29.13)
Это и есть формула для определения угла между двумя прямыми.
Если прямые ℓ
1
и ℓ
2
параллельны (рис. 158,в), то направляющие векторы
этих прямых тоже параллельны, т.е.
~s
1
= (m
1
, n
1
, p
1
)k~s
2
= (m
2
, n
2
, p
2
),
а условием параллельности двух векторов является пропорциональность их ко-
ординат:
m
1
m
2
=
n
1
n
2
=
p
1
p
2
. (29.14)
Это соотношение есть условие параллельности двух прямых в пространстве.
Если прямые перпендикулярны, то на прав ляющие векторы ~s
1
= (m
1
, n
1
, p
1
)
и ~s
2
= (m
2
, n
2
, p
2
) также перпендикулярны, а скалярное произведение перпен-
дикулярных векторов равно нулю:
~s
1
·~s
2
= 0
или
m
1
m
2
+ n
1
n
2
+ p
1
p
2
= 0. (29.15)
Формула (29.15) задает условие перпендикулярности двух прямых.
Пример 29.3. Через точку M
1
(1, −2, 1) провести прямую, параллельную оси
Oz
x = 0,
y = 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- …
- следующая ›
- последняя »
