ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29. Основные задачи о плоскости и прямой в пространстве 259
где
D = −(Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
). (29.17)
Найд¨ем расстояние от точки M
1
до плоскости π. Для этого построим вектор
−−−→
M
0
M
1
= (x
1
− x
0
, y
1
− y
0
, z
1
− z
0
). Из курса в екторной алгебры известно, что
расстояние d от точки M
1
до точки M
0
можно найти как проекцию этого вектора
на вектор нормали
~
N = (A, B, C), т.е.
d = пр
~
N
−−−→
M
0
M
1
=
|
~
N ·
−−−→
M
0
M
1
|
|
~
N|
=
|A(x
1
− x
0
) + B(y
1
−y
0
) + C(z
1
− z
0
)|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
Эту формулу с уч¨етом (29.17) можно записать как
d =
|Ax
1
+ By
1
+ Cz
1
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
. (29.18)
Формула (29.18) зада¨ет правило нахождения расстояния от точки до плоскости:
чтобы найти расстояние от точки M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) до плоскости Ax+By +Cz +D =
0, следует подставить координаты точки в уравнение плоскости. Эта величи-
на, взятая по абсолютному значению и дел¨енная на длину вектора нормали к
плоскости, и да¨ет искомое расстояние.
Пример 29.4. Найти расстояние от точки M
1
(1, 2, −1) до плоскости x + 2y +
3z + 4 = 0.
Решение. Согласно (29.18), имеем
d =
|1 · 1 + 2 · 2 + 3 ·(−1) + 4|
√
1 + 4 + 9
=
6
√
14
.
Пример 29.5. Написать уравнения плоскостей, делящих попо лам двугранный
угол между плоскостями
x + 2y + 3z + 4 = 0,
3x + 2y + z − 4 = 0.
Решение. Искомая плоскость представляет собой множество точек, равно-
удал¨енных от обеих заданных плоскостей, т.е.
|x + 2y + 3z + 4|
√
1 + 4 + 9
=
|3x + 2y + z − 4|
√
9 + 4 + 1
.
Отсюда получим уравнения двух плоскостей для двух смежных углов:
x + 2y + 3z + 4 = ±(3x + 2y + z − 4)
или
x − z −4 = 0
и
x + y + z = 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 257
- 258
- 259
- 260
- 261
- …
- следующая ›
- последняя »
