ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
260 Глава 4. Прямая и плоскость в пространстве
29.7. Расстояние от точки до прямой в пространстве
Пусть даны точка M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) и прямая ℓ:
x − x
1
m
=
y − y
1
n
=
z − z
1
p
.
Расстояние d равно отношению площади параллелограмма, построенного на
векторах
−−−−→
M
0
M
1
и ~s, дел¨енной на модуль вектора ~s, т.е.
d =
|
−−−−→
M
0
M
1
×~s|
|~s|
=
=
s
y
1
− y
0
z
1
−z
0
n p
2
+
x
1
− x
0
z
1
−z
0
m p
2
+
x
1
− x
0
y
1
−y
0
m n
2
p
m
2
+ n
2
+ p
2
. (29.19)
С помощью определителя Грама (4.66) последнее равенство можно записать в
виде
d =
s
Γ(~s,
−−−→
M
0
M
1
)
Γ(~s)
, (29.20)
Выражения (29.19) и (29.20) задают кратчайшее расстояние от точки M
1
до
прямой ℓ.
29.8. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. Пересечение
прямых
Пусть прямые
ℓ
1
:
x − x
1
m
1
=
y − y
1
n
1
=
z − z
1
p
1
, ~s
1
= (m
1
, n
1
, p
1
)
и
ℓ
2
:
x − x
2
m
2
=
y − y
2
n
2
=
z − z
2
p
2
, ~s
2
= (m
2
, n
2
, p
2
)
скрещиваются, т.е. |~s
1
×~s
2
| 6= 0. Кратчайшее расстояние между ними есть про-
екция вектора
−−−→
M
1
M
2
на прямую, перпендикулярную прямой ℓ
1
и перпендику-
лярную прямой ℓ
2
, т.е. параллельную вектору ~s
3
= ~s
1
×~s
2
. Но
|(~s
3
·
−−−→
M
1
M
2
)| = |~s
3
| ·|пр
~s
3
−−−−→
M
1
M
2
| = |~s
3
|d.
Следовательно,
d =
|(~s
3
·
−−−→
M
1
M
2
)|
|~s
3
|
или
d =
|(~s
1
, ~s
2
,
−−−→
M
1
M
2
)|
|~s
1
×~s
2
|
=
mod
x
2
− x
1
y
2
−y
1
z
2
− z
1
m
1
n
1
p
1
m
2
n
2
p
2
s
n
1
p
1
n
2
p
2
2
+
m
1
p
1
m
2
p
2
2
+
m
1
n
1
m
2
n
2
2
. (29.21)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 258
- 259
- 260
- 261
- 262
- …
- следующая ›
- последняя »
