Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 262 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

262 Глава 4. Прямая и плоскость в пространстве
то прямые являются скрещивающимися. Вычислив
−−−→
M
1
M
2
= (−1, −2, 4) и далее
(~s
1
, ~s
2
,
−−−→
M
1
M
2
) =
−1 0 3
3 1 −2
−1 −2 4
= −15; |(~s
1
, ~s
2
,
−−−→
M
1
M
2
)| = 15;
|~s
1
×~s
2
| =
√
9 + 49 + 1 =
√
59,
по формуле (2 9.21) найд¨ем
d =
15
√
59
.
Пример 29.7. Исследовать взаимное расположение прямых
x − 1
2
=
y −2
1
=
z + 1
3
,
x + 5
3
=
y
1
=
z −3
−2
.
Решение. Выпишем характеристики каждой прямой:
M
1
(1, 2, −1), ~s
1
= (2, 1, 3); M
2
(−5, 0, 3), ~s
2
= (3, 1, −2).
Вычислив
−−−→
M
1
M
2
= (−6, −2, 4) и далее
(~s
1
, ~s
2
,
−−−→
M
1
M
2
) =
2 1 3
3 1 −2
−6 −2 4
= −2
2 1 3
3 1 −2
3 1 −2
= 0,
заключаем, что прямые являются пересекающимися. Чтобы найти координаты
точки пересечения прямых, уравнение второй прямой представим в пара метри-
ческой форме:
x = −5 + 3t, y = t, z = 3 − 2t, (29.25)
и подставим (29.25) в уравнение первой прямой:
−6 + 3t
2
=
t − 2
1
=
4 −2t
3
.
Отсюда следует, что пропорция сохранится при t = 2. Подставив t = 2 в (29.25),
получим координаты точки пересечения:
x = −5 + 6 = 1, y = 2 , z = 3 − 4 = −1.
29.9. Пересечение прямой и плоскости
Пусть прямая ℓ и плоскость π заданы уравнениями
x = x
0
+ mt, y = y
0
+ nt, z = z
0
+ pt, ~s = (m, n, p) (29.26)
и
Ax + By + Cz + D = 0,
~
N = (A, B, C). (29.27)
Если прямая ℓ не параллельна плоскости π, т.е.
Am + Bn + Cp 6= 0, (29.28)

Страницы