Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 264 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

264 Глава 4. Прямая и плоскость в пространстве
Найд¨ем уравнение прямой, проходящей через точку M
1
перпендикулярно плос-
кости. Для это го в качестве направ ляющего в ектора прямой следует взять век-
тор нормали к плоскости, т.е. ~s =
~
N = (A, B, C). Тогда параметрическое урав-
нение прямой будет иметь вид
x = x
1
+ At,
y = y
1
+ Bt,
z = z
1
+ Ct.
(29.34)
Подставив (29.34) в уравнение плоско сти (29.3 3):
A(x
1
+ At) + B(y
1
+ Bt) + C(z
1
+ Ct) + D = 0,
найд¨ем значение параметра, соответствующее точке пересечения прямой и плос-
кости:
t = −
Ax
1
+ By
1
+ Cz
1
+ D
A
2
+ B
2
+ C
2
. (29.35)
Теперь из (29.34) получим координаты точки пересечения перпендикуляра и
плоскости, т.е. координаты проекции точки на плоскость.
Пример 29.9. На йт и точку, симметричную точке M
1
(2, 1, 2) относительно плос-
кости
x + 2y + 3z + 4 = 0.
Решение. Параметрические уравнения прямой, перпендикулярной плоскости,
согласно условию задачи, имеют вид
x = 2 + t, y = 1 + 2t, z = 2 + 3t. (29.36)
Подставив их в уравнение плоскости, получим
(2 + t) + 2(1 + 2t) + 3(2 + 3t) + 4 = 0,
откуда t = 1 (это значения параметра можно получить сразу из (29.35)). Под-
ста новка t = 1 в (29.36) да¨ет координаты проекции точки M
1
на плоскость,
т.е. координаты точки M
2
(1, −1, −1). Обозначим через M точку, симметричную
точке M
1
относительно заданной плоскости. Если задат ь направленный отрезок
−−−→
M
1
M
2
, то точка M делит его в отношении λ = −2. Следовательно, координаты
точки M(x, y, z) можно найти по формулам (2.7):
x =
x
1
+ λx
2
1 + λ
=
2 − 2 · 1
1 −2
= 0, y =
1 −2 · (−1)
−1
= −3, z =
2 −2 · (−1)
−1
= −4.
29.11. Уравнение перпендикуляра, опущенного
из данной точки на данную прямую
Пусть даны точка M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) и пря мая
ℓ :
x − x
0
m
=
y − y
0
n
=
z − z
0
p
. (29.37)
Тогда уравнение плоскости, перпендикулярной этой прямо й и проходящей через
точку M
1
, имеет вид
m(x − x
1
) + n(y − y
1
) + p(z − z
1
) = 0. (29.38)

Страницы