ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29. Основные задачи о плоскости и прямой в пространстве 265
Уравнение плоскости, проходящей через эту прямую и точку M
1
имеет вид
(29.1). Их пересечение и даст уравнение искомого перпендикуляра, т.е.
m(x −x
1
) + n(y −y
1
) + p(z − z
1
) = 0,
x − x
0
y − y
0
z − z
0
x
1
− x
0
y
1
−y
0
z
1
− z
0
m n p
= 0.
(29.39)
29.12. Проекция точки на прямую
Согласно определению, проекцией точки на прямую является основание
перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую, или же точка
пересечения заданной прямой с перпендикулярной ей плоскостью, проходящей
через данную точку.
В первом случае можно воспользоваться уравнением перпендикуляра (29.39)
из предыдущего раздела и найти точку его пересечения с прямой (29.37). Во
втором случае количество вычислений можно сократить, поступив следующим
образом.
Как и в предыдущем разделе, рассмотрим точку M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) и прямую ℓ,
которую зададим не каноническими уравнениями (29.37), а параметрическими:
x = x
0
+ mt, y = y
0
+ nt, z = z
0
+ pt. (29.40)
Поскольку перпендикулярная ей плоскость, проходящая через точку M
1
, за-
да¨ется уравнениями (29.38), то, подставив туда выражения (29.40), получим
m(x
0
+ mt − x
1
) + n(y
0
+ nt −y
1
) + p(z
0
+ pt − z
1
) = 0.
Отсюда найд¨ем значение параметра, соответствующее точке пересечения пря-
мой (29.40) с перпендикулярной ей плоскостью (29.38):
t =
m(x
1
−x
0
) + n(y
1
−y
0
) + p(z
1
− z
0
)
m
2
+ n
2
+ p
2
. (29.41)
Подстановка (29.41) в (29.40) да¨ет координаты точки пересечения, т.е. коорди-
наты проекции данной точки на прямую.
♦ Заметим, что, зная координаты двух точек, принадлежащих прямой, мож-
но найти е¨е уравнение. Поскольку эти точки принадлежат перпендикуляру, опу-
щенному из заданной точки на прямую, то это будет уравнение перпендикуляра,
которое выше найдено в виде системы (29.39).
Пример 29.10. Для точки M
1
(2, −1, 4) и прямой
ℓ : x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = −1 + 3t (29.42)
найти:
a) точку, симметричную точке M
1
относительно прямой;
б) уравнение перпендикуляра, опущенного из точки M
1
на прямую ℓ.
Решение. Поскольку направляющий вектор прямой имеет координаты ~s =
(2, 1, 3), то, согласно (29.38), уравнение плоскости, перпендикулярной прямой ℓ
и проходящей через точку M
1
(2, −1, 4), имеет вид
2(x − 2) + (y + 1) + 3(z − 4) = 0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- …
- следующая ›
- последняя »
