ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
266 Глава 4. Прямая и плоскость в пространстве
или
2x + y + 3z − 15 = 0. (29.43)
Подставив (29.43) в (29.42), получим
2(1 + 2t) + (2 + t) + 3(−1 + 3t) − 15 = 0.
Отсюда найд¨ем значение параметра t = 1, соот ветствующее точке пересечения
прямой (29.42) и плоскости (29.43). Подстановка t = 1 в (29.42) да¨ет координаты
этой точки пересечения M
2
(3, 3, 2). Эта же точка я вляется проекцией точки M
1
на прямую. Это позволяет найт и ответ на оба вопроса примера.
а) Обозначим через M(x, y, z) точку, симметричную точке M
1
относительно
прямой ℓ. Если задать направленный о трезок
−−−→
M
1
M
2
, то точка M делит его в
отношении λ = −2. Следовательно, координаты точки M(x, y, z) можно найти
по формулам (2.7):
x =
x
1
+ λx
2
1 + λ
=
1 − 2 · 3
1 − 2
= 5, y =
2 − 2 · 3
−1
= 4, z =
−1 − 2 · 2
−1
= 5.
б) Мы знаем координаты двух точек M
1
(2, −1, 4) и M
2
(3, 3, 2), через которые
проходит перпендикуляр. Следовательно, его уравнение имеет вид
x − 2
3 − 2
=
y + 1
3 + 1
=
z − 4
2 − 4
или
x − 2
1
=
y + 1
4
=
z −4
−2
.
29.13. Проекция прямой на плоскость
Пусть прямая ℓ и плоскость π заданы уравнениями
ℓ :
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0;
π : A
3
x + B
3
y + C
3
z + D
3
= 0.
Согласно определению, проекцией прямой на плоскость является совокупность
проекций всех точек этой прямой на плоскость. Это й совокупностью я вляется
прямая, по которой пересекается плоскость π с другой плоскостью π
⊥
, проходя-
щей через прямую ℓ перпендикулярно π. Уравнение этой прямой можно найти,
записав уравнение пучка плоскостей
(αA
1
+ βA
2
)x + (αB
1
+ βB
2
)y + (αC
1
+ βC
2
)z + αD
1
+ βD
2
= 0 (29.44)
и потребовав, чтобы вектор нормали
~
N
αβ
= (αA
1
+ βA
2
, αB
1
+ βB
2
), αC
1
+ βC
2
)
был перпендикулярен вектору нормали заданной плоско сти π:
(αA
1
+ βA
2
)A
3
+ (αB
1
+ βB
2
)B
3
+ (αC
1
+ βC
2
)C
3
= 0. (29.45)
Определив из (29.45) α и β и подставив их в (29.44), получим уравнение плос-
кости π
⊥
. В результате искомая проекция прямой ℓ найд¨ется как прямая пере-
сечения плоскостей π
⊥
и π.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- …
- следующая ›
- последняя »
