ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
268 Глава 4. Прямая и плоскость в пространстве
30. Прямые и плоскости в аффинном пространстве
произвольной размерно сти
Полученные выше результаты можно обобщить на пространства произвольной
размерности n. Для того чтобы получить уравнение плоскости, необходимо задать
точку M
0
, через которую эта плоскость проходит, и систему линейно независимых
направляющих векторов ~s
1
, ~s
2
, . . . , ~s
k
, 1 6 k 6 n −1, этой плоскости. Последнее нера-
венство означает, что количество направляющих векторов плоскости не только не
может превышать размерность пространства, но и совпадать с ним.
Количество 1 6 k 6 n − 1 направляющих векторов плоскости в n-мерном про-
странстве называется е¨е размерностью.
Рассмотренная выше плоскость является двумерной в трехмерном пространстве,
а прямая — одномерной плоскостью.
Итак, пусть в репере {O, ~e
1
, . . . , ~e
n
} заданы точка M
0
(x
01
, . . . , x
0n
) и направля-
ющие векторы ~s
l
= (s
l1
, s
l2
, . . . , s
ln
), l = 1, k. Выберем на плоскости произвольную
точку M(x
1
, x
2
, . . . , x
n
). Тогда вектор
−−−→
M
0
M принадлежит плоскости и может быть
представлен линейной комбинацией направляющих векторов:
−−−→
M
0
M = ~s
1
t
1
+ ~s
2
t
2
+ . . . + ~s
k
t
k
, (30.1)
где t
l
, l = 1, k, — некоторые числа или параметры, представляющие координаты век-
тора
−−−→
M
0
M в базисе ~s
1
, ~s
2
, . . . , ~s
k
. Изменяя в (30.1) параметры t
1
, . . . , t
k
от −∞ до +∞
независимо друг от друга, мы переб¨ерем все точки рассматриваемой плоскости.
Уравнение (30.1) называется параметрическим уравнением плоскости размер-
ности k в n-мерном пространстве в векторной форме.
От векторной формы (30.1) можно перейти к координатной:
x
1
− x
01
= s
11
t
1
+ s
21
t
2
+ . . . + s
k1
t
k
,
x
2
− x
02
= s
12
t
1
+ s
22
t
2
+ . . . + s
k2
t
k
,
. . . . . . . . . . . . . . . ,
x
n
− x
0n
= s
1n
t
n
+ s
2n
t
n
+ . . . + s
kn
t
n
или
x
1
= x
01
+ s
11
t
1
+ s
21
t
2
+ . . . + s
k1
t
k
,
x
2
= y
02
+ s
12
t
1
+ s
22
t
2
+ . . . + s
k2
t
k
, (30.2)
. . . . . . . . . . . . . . . ,
x
n
= x
0n
+ s
1n
t
n
+ s
2n
t
n
+ . . . + s
kn
t
n
.
Уравнения (30.2) называются параметрическими уравнениями k-мерной плоско-
сти в n-мерном пространстве, проходящей через заданную точку
M
0
(x
01
, x
02
, . . . , x
0n
) в направлении векторов ~s
1
, . . . , ~s
n
.
Ограничим наше рассмотрение k-мерной плоскости условиями k 6= 0 и k 6= n, кото-
рые тривиальным образом соответствуют нульмерной плоскости, т.е. точке, в первом
случае и n-мерной плоскости, совпадающей со всем пространством, во втором. Сле-
дующими крайними размерностями являются k = 1 и k = n −1.
Одномерную (k = 1) плоскость в (30.2) называют прямой, а плоскость раз-
мерности k = n − 1 — гиперплоскостью (плоскостью максимальной размерности, не
совпадающей со всем пространством).
Выразив из первых k уравнений параметры t
1
, . . . , t
n
и подставив их в оставшиеся,
мы получим n − k уравнений, связывающих координаты x
1
, . . . , x
n
точек, принадле-
жащих плоскости. Отсюда следует, что гиперплоскость описывается только одним
уравнением
x
1
−x
01
x
2
− x
02
. . . x
n
− x
0n
s
11
s
12
. . . s
1n
s
21
s
22
. . . s
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s
n−1,1
s
n−1,2
. . . s
n−1,n
= 0, (30.3)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 266
- 267
- 268
- 269
- 270
- …
- следующая ›
- последняя »
