Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 269 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

30. Прямые и плоскости в аффинном пространстве произвольной размерности 269
выражающим линейную зависимость (30.1) вектора
−−−→
M
0
M и системы направляющих
векторов плоскости ~s
1
, . . . , ~s
n−1
.
Разложив определитель (30.3) по первой строке, можем записать
(x
1
− x
01
)A
11
+ (x
2
− x
02
)A
12
+ . . . + (x
n
− x
0n
)A
1n
= 0, (30.4)
где A
1l
, l = 1, n, — алгебраические дополнения к элементам первой строки определи-
теля (30.3), или
A
11
x
1
+ A
12
x
2
+ . . . + A
1n
x
n
= A
1
, (30.5)
где
A
1
= A
11
x
01
+ A
12
x
02
+ . . . + A
1n
x
0n
. (30.6)
Поскольку плоскость размерности k = n−2 будет описываться двумя уравнениями
вида
A
11
x
1
+ A
12
x
2
+ . . . + A
1n
x
n
= A
1
,
A
21
x
1
+ A
22
x
2
+ . . . + A
2n
x
n
= A
2
,
(30.7)
то ее можно рассматривать как плоскость пересечения двух гиперплоскостей. Плос-
кость размерности k = n − 3 будет определяться как плоскость пересечения трех
гиперплоскостей и т.д., вплоть до прямой, которая будет определяться как плоскость
пересечения (n − 1)-й гиперплоскости:
x
1
− x
01
s
1
=
x
2
−x
02
s
2
= . . . =
x
n
− x
0n
s
n
, (30.8)
где s
j
, j = 1, n, — координаты единственного направляющего вектора прямой ~s =
(s
1
, s
2
, . . . , s
n
).
Уравнение (30.8) называется каноническим уравнением прямой и получается из
(30.2) исключением единственного параметра t
1
.
С такой точки зрения любую систему линейных уравнений можно рассматривать
как задачу о пересечении соответствующих гиперплоскостей. Наряду с этим само
уравнение гиперплоскости можно рассматривать как уравнение, связывающее коор-
динаты точек, лежащих на концах векторов, исходящих из точки M
0
(x
01
, x
02
, . . . , x
0n
)
и перпендикулярных некоторой прямой с направляющим вектором ~s = (s
1
, s
2
, . . . , s
n
).
Такой вектор называется вектором нормали к гипе рплоскости. Положив вектор нор-
мали заданным:
~
N = (A
1
, A
2
, . . . , A
n
), уравнение гиперплоскости можно записать с
помощью скалярного произведения
(
~
N,
−−−→
M
0
M) = 0, (30.9)
где
−−−→
M
0
M = (x
1
− x
01
, x
2
− x
02
, . . . , x
n
− x
0n
).
Если точка M
0
(x
01
, x
02
, . . . , x
0n
) совпадает с началом координат (x
01
= x
02
= . . . =
x
0n
= 0), то и гиперплоскость проходит через начало координат. В этом случае линей-
ное уравнение (30.5), описывающее гиперплоскость, будет однородным. Отсюда сле-
дует, что любую однородную систему линейных у равнений можно рассматривать как
задачу о пересечении гиперплоскостей, проходящих через начало координат. Прич¨ем
фундаментальная система решений однородной системы будет соответствовать систе-
ме направляющих векторов гиперплоскости, которые, согласно свойству фундамен-
тальной системы, будут перпендикулярны одному n-мерному вектору, координаты
которого составлены из коэффициентов при неизвестных (координатах) x
i
, i = 1, n, и
представляющему вектор нормали к гиперплоскости.

Страницы