ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
270 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
ГЛАВА 5
Поверхности и кривые в пространстве
31. Поверхности и кривые в пространстве и их уравнения
в декартовой системе координат
В курсе элементарной геометрии по верхность рассматривается или как гра-
ница некоторого тела, или как «след» движущейся линии, или ка к множество
точек, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, поверхность шара,
или сфера, рассматривается как множество точек, равноудаленных от заданной
точки, а цилиндрические и конические поверхности — как результат вращения
прямоугольника и треугольника вокруг одной из его сторон и т.д.
В аналитической геометрии поверхность в пространстве определяется урав-
нением
F (x, y, z) = 0, (31.1)
связывающим координаты точек этой поверхности M(x, y, z) в заданной систе-
ме координат Oxyz.
Как и для плоской кривой, геометрические свойства пространств енной по-
верхности будем изучать как свойства решения этого уравнения. Однако не
вся кое уравнение может определять геометрический объект. Н апример, урав-
нение x
2
+ 4y
2
+ z
2
+ 2 = 0 не определяет ни одну точку, координаты которой
удовлетворя ли бы этому уравнению. В этом случае для сохранения общности
говорят о мнимых поверхностях.
С уч¨етом этого кривая в пространстве определяется как линия пересечения
двух поверхностей, т.е. задается системой двух уравнений
F
1
(x, y, z) = 0,
F
2
(x, y, z) = 0.
(31.2)
Прямая ка к линия пересечения двух плоскостей, т.е. как система двух линейных
уравнений, естественным образом укладывается в рамки этого определения.
Например, пря мую линию в пространстве мы задавали как линию пересечения
двух плоскостей (поверхностей первого порядка):
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0.
Параметризация системы (31.2) позволяет записать уравнения кривой в па-
раметрической форме:
x = x(t), y = y(t), z = z(t). (31.3)
Так, например, уравнения винтовой линии, образующейся при движении
точки, состоящем из равномерного движения вдо ль некоторой прямой (оси) и
равномерного движения по окружности против часовой стрелки по отношению
к поступательному движению. В параметрической форме уравнение винтов ой
линии имеет вид
x = a cos t,
y = a sin t,
z =
h
2π
t,
где h — шаг винта.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 268
- 269
- 270
- 271
- 272
- …
- следующая ›
- последняя »
