ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
32. Основные задачи на поверхность и кривую 271
Если левая часть уравнения (31.1) есть целый полином относительно
x, y, z, то поверхность называется алгебраической. Степень это го полинома от-
носительно x, y, z дает порядок алгебраической поверхности.
Так, плоскость Ax + By + Cz + D = 0 есть алгебраическая пов ерхность
первого порядка, а сферическая поверхность x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
есть поверхность
второго порядка.
Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек,
координаты которых относительно декартовой системы координат удовлетво-
ряют уравнению
F
2
(x, y, z) = a
11
x
2
+ a
22
y
2
+ a
33
z
2
+ 2a
23
yz + 2a
13
zx + 2a
12
xy +
+2a
1
x + 2a
2
y + 2a
3
z + a
0
= 0. (31.4)
Как и в случае кривых второго порядка, определение (31.4) справедливо при
следующих предположениях.
1. Уравнение (3 1.4) при переходе от репера (O,~ı,~,
~
k) к реперу (O
′
,~ı
′
,~
′
,
~
k
′
)
оста¨ется уравнением 2-го порядка.
2. Всякая плоскость может быть описана уравнением как 1- й степени: Ax +
By + Cz + D = 0, так и 2-ой степени: (Ax + By + Cz + D)
2
= 0.
3. Различные уравнения могут описывать одно и тоже множество точек.
Например, две различные пары плоскостей из одного пучка определяют одну и
ту же прямую; аналогично каждое из уравнений x
2
+ 1 = 0 и x
2
+ y
2
+ z
2
+ 1 = 0
описывает пустое множество в вещественном пространстве, хотя в комплексном
пространстве множества решений этих уравнений различны.
В аналитическом определении поверхности (31.1) ва жную роль играет выбор
системы ко ординат. Одна из задач аналитической геометрии и состоит в нахож-
дении системы координат, в кот орой уравнение (31.1) имеет наиболее простой
вид, удобный для его изучения. Это же относится и к системе (31.2), определя-
ющей кривую.
32. Основные задачи на поверхность и кривую
Ра ссмотрим следующие задачи.
Задача 1. Дан закон образования поверхности или кривой. Составить
уравнение этой поверхности.
♦ Составить уравнение линии или поверхности в выбранной системе коорди-
нат – это значит составить такое уравнение, которому удовлетворяют координа-
ты любой точки, лежащей на этой кривой или поверхности, и не удов летворя ют
координаты точек, которые на этих объектах не лежат.
♦ Для вывода уравнения линии поступают так: 1) выбирают на пло скости
систему координат; 2) на линии, уравнение которой необходимо получить, выби-
рают произвольную точку. Координаты этой точки обозначают через x и y для
прямоугольной системы координат или через ρ и ϕ для полярной. Основываясь
на заданном свойстве всех точек, лежащих на линии, составляют уравнение,
связывающее координаты произвольной точки с некото рыми постоянными ве-
личинами, данными в задаче. Найденное уравнение и будет искомым.
Пример 32.1. Составить уравнение сферы радиуса R с центром в точке
O(a, b, c).
Решение. Закон образования этой поверхности нам известен: сфера есть гео-
метрическое место точек пространства, равноудаленных от заданной точки —
центра. На сфере выберем точку M(x, y, z) (текущая точка сферы) и соеди-
ним ее с центром сферы вектором
−−→
OM. Вектор
−−→
OM имеет координаты
−−→
OM =
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 269
- 270
- 271
- 272
- 273
- …
- следующая ›
- последняя »
