ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
272 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
(x −a, y −b, z −c). Эта точка перемещается в трехмерном пространстве так, что
все время
|
−−→
OM| = R. (32.1)
Но длина вектора
−−→
OM определяется соотношением
|
−−→
OM| =
p
(x − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − c)
2
.
Тогда равенство (32.1) перепишется та к:
p
(x − a)
2
+ (y −b)
2
+ (z − c)
2
= R
или
(x − a)
2
+ (y −b)
2
+ (z − c)
2
= R
2
. (32.2)
Это и есть уравнение сферы (ша ровой поверхности) радиуса R с центром в
точке O(a, b, c) в канонической форме.
В частном случае, когда центр сферы находится в начале координат, a =
b = c = 0, и уравнение сферы приобрета ет вид
x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
. (32.3)
Раскрыв скоб ки, уравнение (32.2) можно переписать так:
x
2
+ y
2
+ z
2
+ C
1
x + C
2
y + C
3
z + D = 0 , (32.4)
где обозначено C
1
= −2a, C
2
= −2b, C
3
= −2c, D = a
2
+ b
2
+ c
2
− R
2
. Ука-
жем признаки того, что уравнение (32.4) есть уравнение шаровой поверхности:
1) коэффициенты при x
2
, y
2
, z
2
равны между собой; 2) уравнение не содержит
слагаемые с произведением xy или yz или zx.
Пример 32.2. Записать уравнения поверхности, каждая точка которой:
а) отстоит от начала координат на расстояние R = 4;
б) расположена вдво е ближе к точке A(2, 0, 0 ), чем к точке B(−4, 0, 0).
Решение. Если S — поверхность, заданная условиями задачи, то точка M(x, y, z)
принадлежит S в том и только в том случае, если:
а) |
−−→
OM| =
p
x
2
+ y
2
+ z
2
= 4
или
x
2
+ y
2
+ z
2
= 16; (32.5)
б) 2|
−−→
AM| = |
−−→
BM|,
т.е.
2
p
(x − 2)
2
+ y
2
+ z
2
=
p
(x + 4)
2
+ y
2
+ z
2
или
3x
2
−24x + 3y
2
+ 3z
2
= 0.
Выделив полный квадрат, найд¨ем
(x − 4)
2
+ y
2
+ z
2
= 16. (32.6)
Уравнения (32.5 ) и (32.6) описывают сферы радиуса R = 4, однако центр одной
расположен в точке O(0, 0, 0), а другой — в точке C(4, 0, 0). Система координат,
в кот орой сфера описывается уравнением (32.5), является бо лее предпочтитель-
ной и называется канонической системой координат.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 270
- 271
- 272
- 273
- 274
- …
- следующая ›
- последняя »
