ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29. Основные задачи о плоскости и прямой в пространстве 263
то они пересекаются. Координаты точки их пересечения находятся следующим
образом. Подставим (29.26) в (29.21):
A(x
0
+ mt) + B(y
0
+ nt) + C(z
0
+ pt) + D = 0,
откуда
t = −
Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
Am + Bn + Cp
. (29.29)
В силу (29.28) величина t определяется однозначно, и подстановка (29.29) в
(29.26) да¨ет координаты точки пересечения.
Если прямая (29.26) задана общими уравнениями
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0,
(29.30)
то точка пересечения прямой (29.30) и плоскости (29.27) найд¨ется из решения
системы
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0,
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0,
Az + By + Cz + D = 0.
Пример 29.8. Показать, что прямая
x = 1 + 2t, y = 3t, z = −2 + t (29.31)
пересекает плоскость
2x − y + z + 1 = 0 (29.32)
и найти координаты точки их пересечения.
Решение. Выпишем направляющий вектор прямой: ~s = (2, 3, 1) и вектор нор-
мали к плоскости:
~
N = (2, −1, 1). Поскольку
(~s,
~
N) = 4 − 3 + 1 = 2 6= 0,
то прямая и плоскость пересекаются. Чтобы найти координаты т очки пересе-
чения, подставим (29.31) в (29 .32):
2(1 + 2t) − 3t − 2 + t + 1 = 0.
Отсюда t = −1/2. Подставив значение параметра t = −1/2, соответствующее
точке пересечения, в (29.31), найд¨ем координаты точки пересечения:
x = 1 + 2 ·
−
1
2
= 0, y = 3 ·
−
1
2
= −
3
2
, z = −2 −
1
2
= −
5
2
.
29.10. Проекция точки на плоскость
Проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опу-
щенного на эту плоскость.
Пусть даны точка M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) и плоскость
Ax + By + Cz + D = 0,
~
N = (A, B, C). (29.33)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 261
- 262
- 263
- 264
- 265
- …
- следующая ›
- последняя »
