ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29. Основные задачи о плоскости и прямой в пространстве 261
С помощью соотношений (4.66) и (5.9), позволяющих выразить векторное и сме-
шанное произведения векторов через определитель Грама, последнее равенство
можно записать в виде
d =
s
Γ(~s
1
, ~s
2
,
−−−→
M
1
M
0
)
Γ(~s
1
, ~s
2
)
, (29.22)
Выражение (29.21) и (29.22) определяют кратчайшее расстояние между дву-
мя скрещивающимися прямыми.
Если кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми равно ну-
лю (d = 0), то эти прямые имеют общую точку, т.е. пересекаются. Таким обра-
зом, согласно (29.21), условием пересечения скрещивающихся прямых является
условие
x
1
− x
2
y
1
− y
2
z
1
−z
2
m
1
n
1
p
1
m
2
n
2
p
2
= 0. (29.23)
Пусть прямые
ℓ
1
:
x −x
1
m
1
=
y − y
1
n
1
=
z − z
1
p
1
, ~s
1
= (m
1
, n
1
, p
1
)
ℓ
2
:
x − x
2
m
2
=
y − y
2
n
2
=
z − z
2
p
2
, ~s
2
= (m
2
, n
2
, p
2
)
параллельны, т.е. ~s
1
×~s
2
= 0 или
m
1
m
2
=
n
1
n
2
=
p
1
p
2
.
Тогда расстояние между ними можно найти, взяв любую точку одной прямой,
и по формуле (29.19) вычислить расстояние от этой точки до второй прямой.
Это и будет расстоянием между параллельными прямыми ℓ
1
и ℓ
2
.
Если расстояние между параллельными прямыми равно нулю, то эти пря-
мые совпадают. Таким о бразом, согласно (29.19), условием совпадения прямых
в пространстве является условие
−−−→
M
1
M
2
×~s
1
= 0
или
x
2
− x
1
m
1
=
y
2
− y
1
n
1
=
z
2
−z
1
p
1
. (29.24)
Пример 29.6. Найти расстояние между прямыми
x − 1
2
=
y − 2
1
=
z + 1
3
,
x + 1
3
=
y
1
=
z + 3
−2
.
Решение. Выпишем характеристики каждой прямой:
M
1
(1, 2, −1), ~s
1
= (2, 1, 3); M
2
(−1, 0, 3), ~s
2
= (3, 1, −2).
Поскольку
~s
1
×~s
2
=
~ı ~
~
k
−1 0 3
3 1 −2
= −3~ı + 7~ −
~
k 6= 0,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 259
- 260
- 261
- 262
- 263
- …
- следующая ›
- последняя »
