ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. Скаляры и векторы 27
Следствие 1.3. Векторная проекция вектора ~a на ось S определяется соотно-
шением
−→
пр
S
~a = ~s
0
|~a|cos ϕ. (1.64)
Свойство 2 (линейности). Проекция линейной комбинации векторов равна
той же линейной комбинации их проекций:
пр
S
(α
1
~a
1
+ . . . + α
n
~a
n
) = α
1
пр
S
~a
1
+ . . . + α
n
пр
S
~a
n
. (1.65)
Доказательство этого свойства очевидным образом вытекает из свойства 1 и
его следствий.
Формула (1.65) легко обобщается на линейную комбинацию векторных про-
екций:
−→
пр
S
(α
1
~a
1
+ . . . + α
n
~a
n
) = α
1
−→
пр
S
~a
1
+ . . . + α
n
−→
пр
S
~a
n
=
= ~s
0
(α
1
пр
S
~a
1
+ . . . + α
n
пр
S
~a
n
). (1.66)
1.5. Базис и координаты
Выше (см. теорему 1.3) мы определили формулу разложения любого про-
странственного вектора ~a по тр¨ем некомпланарным, т.е. линейно независимым,
векторам:
~a = x
1
~e
1
+ x
2
~e
2
, (1.67)
прич¨ем коэффициенты разложения x
1
, x
2
, x
3
определяются однозначно. Соот-
ношение (1.68) устанавливает взаимно однозначное соответствие между упо-
рядоченной тройкой чисел x
1
, x
2
, x
3
и вектором ~a при фиксированной тройке
векторов ~e
1
, ~e
2
, ~e
3
. Благодаря это му появляется возможность использовать в
векторном исчислении аналитические методы, оперирующие не с векторами,
а с заменяющими их тройками чисел.
Обратимся к более детальному рассмотрению этого вопроса.
Базисом (от греческого — о снование) в множестве геометрических векто-
ров называется упорядоченная тро йка линейно независимых (некомпланарных)
векторов B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
).
Числа x
1
, x
2
, x
3
называются координатами вектора ~a в базисе B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
),
слагаемые x
1
~e
1
, x
2
~e
2
, x
3
~e
3
— компонентами вектора ~a в этом базисе, а формула
(1.67) — формулой разложения вектора ~a в заданном б азисе B.
Аналогичные определения вводятся для компланарных и коллинеарных век-
торов.
Упорядоченная пара ~e
1
, ~e
2
неколлинеарных векторов называется базисом
B = (~e
1
, ~e
2
) в множестве геометрических векторов, компланарных неко торой
плоскости.
Каждый такой вектор ха ракт еризуется двумя координатами x
1
и x
2
, задаю-
щими разложение
~a = x
1
~e
1
+ x
2
~e
2
. (1.68)
И, наконец, всякий ненулевой вектор ~e образует базис B = (~e) в множе-
стве всех геометрических векторов, коллинеарных некоторому направлению.
Каждый вектор из этого множества ха ра ктеризуется одной координатой x, за-
дающей его представление в базисе B:
~a = x~e. (1.69)
Число базисных векторов в базисе B принято называть его раз мерностью.
Базис B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) называется ортогональным (п рямоугольным), ес-
ли базисные векторы ~e
1
, ~e
2
, ~e
3
попарно перпендикулярны. Ортогональный базис
называется ортонормированным, или декартовым, если его базисные векторы
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
